Exercício 4. Crescimento logístico. Uma população P(t) segue o modelo de Verhulst:
\frac{d P}{d t}=r P\left(1-\frac{P}{K}\right), \quad P(0)=P_{0}
onde r>0 é a taxa de crescimento intrínseca e K é a capacidade de suporte.
a) Mostre que a equação é separável e resolva-a. (Sugestão: use frações parciais.)
b) Determine \lim _{t \rightarrow \infty} P(t) e interprete biologicamente.
c) Para r=0,5, K=1000 e P_{0}=100, calcule $P(10).
d) Esboce C(t) para C_{0}=2 \mathrm{~mol} / \mathrm{L} e $k=0,1 \mathrm{~L} /(\mathrm{mol} \cdot \mathrm{min}).

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado pede e quais são os dados fornecidos.
  • Enunciado dado: a população P(t) satisfaz a equação
\frac{dP}{dt}=rP\!\left(1-\frac{P}{K}\right),\qquad P(0)=P_{0},
com r>0 e K capacidade de suporte.
  • Perguntas:
    (a) Mostrar que a equação é separável e resolvê-la (sugestão: frações parciais).
    (b) Determinar \displaystyle \lim_{t\to\infty}P(t) e interpretar biologicamente.
    (c) Para r=0,5, K=1000 e P_{0}=100, calcular P(10).
    (d) Esboçar C(t) para C_{0}=2\\ \mathrm{mol/L} e k=0,1\\ \mathrm{L/(mol\cdot min)}.
  • Informações relevantes: valores numéricos para (c) e (d) foram dados; em (d) a unidade de k sugere uma cinética de segunda ordem do tipo \dfrac{dC}{dt}=-kC^{2}.
A partir daqui começo a resolver passo a passo.

Passo 2

Mostrar que a equação é separável e separar as variáveis.
A equação é
\frac{dP}{dt}=rP\!\left(1-\frac{P}{K}\right).
Separar variáveis significa escrever todos os termos com P em um lado com dP e os termos com t no outro com dt. Para isso, reescreve-se o fator da direita:
P\!\left(1-\frac{P}{K}\right)=\frac{P(K-P)}{K}.
Logo
\frac{dP}{dt}=r\frac{P(K-P)}{K}.
Isolando dP e dt,
\frac{K}{P(K-P)}\,dP = r\,dt.
Portanto a equação é separável: os P estão no lado esquerdo e t no direito.

Passo 3

Resolver a integral do lado esquerdo usando frações parciais.
Queremos integrar
\int \frac{K}{P(K-P)}\,dP = \int r\,dt.
Primeiro simplificar a fração: como K é constante,
\frac{K}{P(K-P)} = \frac{1}{P} + \frac{1}{K-P}.
(Para verificar: escreva \dfrac{1}{P}+\dfrac{1}{K-P}=\dfrac{K-P+P}{P(K-P)}=\dfrac{K}{P(K-P)}.)
Agora integramos cada termo:
\int\left(\frac{1}{P}+\frac{1}{K-P}\right)dP = \int r\,dt.
Calcule as integrais do lado esquerdo: \displaystyle \int\frac{1}{P}dP=\ln|P| e \displaystyle \int\frac{1}{K-P}dP=-\ln|K-P| (pois a derivada de K-P é -1). Assim
\ln|P| - \ln|K-P| = rt + C,
onde C é constante de integração.

Passo 4

Manipular a expressão logarítmica e resolver para P(t).
A diferença de logaritmos é o logaritmo do quociente, então
\ln\!\left(\frac{P}{K-P}\right) = rt + C.
Exponenciando ambos os lados:
\frac{P}{K-P} = Ce^{rt},
onde agora C>0 representa e^{C} (renomeando a constante).
Isolando P:
P = Ce^{rt}(K-P).
Colocando os termos com P no mesmo lado:
P + Ce^{rt}P = Ce^{rt}K \quad\Rightarrow\quad P(1+Ce^{rt}) = Ce^{rt}K.
Portanto
P(t) = \frac{Ce^{rt}K}{1+Ce^{rt}} = \frac{K}{1+\dfrac{1}{C}e^{-rt}}.
Para determinar C em função de P_{0}, use a condição inicial P(0)=P_{0}:
P_{0}=\frac{K}{1+\dfrac{1}{C}} \quad\Rightarrow\quad 1+\frac{1}{C}=\frac{K}{P_{0}}
\frac{1}{C}=\frac{K}{P_{0}}-1=\frac{K-P_{0}}{P_{0}}.
Portanto \displaystyle \frac{1}{C}=\frac{K-P_{0}}{P_{0}}. Substituindo na solução, obtém-se a forma usual:
\boxed{\displaystyle P(t)=\frac{K}{1+\left(\dfrac{K-P_{0}}{P_{0}}\right)e^{-rt}}.}
Essa é a solução geral do problema com a condição inicial.

Passo 5

Determinar \displaystyle \lim_{t\to\infty}P(t) e interpretar biologicamente.
Da expressão
P(t)=\frac{K}{1+\left(\dfrac{K-P_{0}}{P_{0}}\right)e^{-rt}},
observe que \displaystyle r>0 implica \displaystyle e^{-rt}\to 0 quando t\to\infty. Assim o termo no denominador com e^{-rt} desaparece e obtemos
\lim_{t\to\infty}P(t)=\frac{K}{1+0}=K.
Interpretação biológica: independentemente da população inicial positiva P_{0} (desde que 0<P_{0}<K ou P_{0}>K), a população tende assintoticamente à capacidade de suporte K. Biologicamente, K é o número máximo que o ambiente consegue suportar; fatores como recursos limitados fazem com que o crescimento desacelere e a população se estabilize em K.

Passo 6

Calcular P(10) para r=0,5, K=1000 e P_{0}=100.
Usar a fórmula encontrada:
P(10)=\frac{1000}{1+\left(\frac{1000-100}{100}\right)e^{-0,5\cdot 10}}.
Calcule passo a passo:
\frac{1000-100}{100}= \frac{900}{100}=9.
O expoente é -0,5\cdot 10 = -5, e sabe-se que e^{-5}\approx 0,006737947. Então
9e^{-5}\approx 9\times 0,006737947 \approx 0,060641523.
O denominador fica 1+0,060641523\approx 1,060641523. Assim
P(10)\approx\frac{1000}{1,060641523}\approx 942,853\\ (\text{indivíduos}).í
Portanto a população aproximada aos 10 (mesmas unidades de tempo de r) é \approx 942,853, já bem próxima de K=1000.

Passo 7

Resolver e esboçar C(t) para C_{0}=2\\ \mathrm{mol/L} e k=0,1\\ \mathrm{L/(mol\cdot min)}.
Motivação da equação: a unidade de k indica reação de segunda ordem (unidade L/(mol·tempo) é típica de lei de taxa -kC^{2}). Assim a equação é
\frac{dC}{dt} = -kC^{2},\qquad C(0)=C_{0}.
Essa equação é separável. Separe e integre:
\int \frac{dC}{C^{2}} = -\int k\,dt.
Integral do lado esquerdo: \displaystyle \int C^{-2}dC = -\frac{1}{C}. Então
-\frac{1}{C} = -kt + D,
onde D é constante. Multiplicando por -1:
\frac{1}{C} = kt + D',
com D'=-D. Usando C(0)=C_{0} => 1/C_{0}=D'. Então
\frac{1}{C(t)} = kt + \frac{1}{C_{0}}\quad\Rightarrow\quad C(t)=\frac{1}{kt+\dfrac{1}{C_{0}}}.
Substituindo k=0,1 e C_{0}=2 (usar vírgula decimal conforme pedido):
\frac{1}{C_{0}}=\frac{1}{2}=0,5,
logo
\boxed{\displaystyle C(t)=\frac{1}{0{,}1\,t+0{,}5}.}
Esboço e propriedades úteis para desenhar o gráfico:
  • C(0)=\dfrac{1}{0{,}5}=2 (começa em 2\\ \mathrm{mol/L}).
  • C(t) é positiva e estritamente decrescente para t\ge 0.
  • Assimptota horizontal: \displaystyle \lim_{t\to\infty}C(t)=0.
  • Exemplo prático para o esboço: quando C(t)=1 resolve-se 1=1/(0{,}1t+0{,}5)\Rightarrow 0{,}1t+0{,}5=1\Rightarrow t=5 min. Ou seja, em t=5 a concentração caiu para metade.

Resposta

(a) \displaystyle P(t)=\frac{K}{1+\left(\dfrac{K-P_{0}}{P_{0}}\right)e^{-rt}}\n
(b) \displaystyle \lim_{t\to\infty}P(t)=K\n
(c) \displaystyle P(10)=\frac{1000}{1+9e^{-5}}\approx 942,853\n
(d) \displaystyle C(t)=\frac{1}{0{,}1\,t+0{,}5}

Exercícios relacionados