Exercício 4. Crescimento logístico. Uma população
segue o modelo de Verhulst:
onde
é a taxa de crescimento intrínseca e
é a capacidade de suporte.
a) Mostre que a equação é separável e resolva-a. (Sugestão: use frações parciais.)
b) Determine
e interprete biologicamente.
c) Para
e
, calcule $P(10).
d) Esboce
para
e $k=0,1 \mathrm{~L} /(\mathrm{mol} \cdot \mathrm{min}).
a) Mostre que a equação é separável e resolva-a. (Sugestão: use frações parciais.)
b) Determine
c) Para
d) Esboce
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado pede e quais são os dados fornecidos.
- Enunciado dado: a população
satisfaz a equação
com
e
capacidade de suporte.
-
Perguntas:
(a) Mostrar que a equação é separável e resolvê-la (sugestão: frações parciais).
(b) Determinare interpretar biologicamente.
(c) Para, e , calcular .
(d) Esboçarpara e . -
Informações relevantes: valores numéricos para (c) e (d) foram dados; em (d) a unidade de
sugere uma cinética de segunda ordem do tipo .
A partir daqui começo a resolver passo a passo.
Passo 2
Mostrar que a equação é separável e separar as variáveis.
A equação é
Separar variáveis significa escrever todos os termos com
em um lado com
e os termos com
no outro com
. Para isso, reescreve-se o fator da direita:
Logo
Isolando
e
,
Portanto a equação é separável: os
estão no lado esquerdo e
no direito.
Passo 3
Resolver a integral do lado esquerdo usando frações parciais.
Queremos integrar
Primeiro simplificar a fração: como
é constante,
(Para verificar: escreva
.)
Agora integramos cada termo:
Calcule as integrais do lado esquerdo:
e
(pois a derivada de
é
). Assim
onde
é constante de integração.
Passo 4
Manipular a expressão logarítmica e resolver para
.
A diferença de logaritmos é o logaritmo do quociente, então
Exponenciando ambos os lados:
onde agora
representa
(renomeando a constante).
Isolando
:
Colocando os termos com
no mesmo lado:
Portanto
Para determinar
em função de
, use a condição inicial
:
Portanto
. Substituindo na solução, obtém-se a forma usual:
Essa é a solução geral do problema com a condição inicial.
Passo 5
Determinar
e interpretar biologicamente.
Da expressão
observe que
implica
quando
. Assim o termo no denominador com
desaparece e obtemos
Interpretação biológica: independentemente da população inicial positiva
(desde que
ou
), a população tende assintoticamente à capacidade de suporte
. Biologicamente,
é o número máximo que o ambiente consegue suportar; fatores como recursos limitados fazem com que o crescimento desacelere e a população se estabilize em
.
Passo 6
Calcular
para
,
e
.
Usar a fórmula encontrada:
Calcule passo a passo:
O expoente é
, e sabe-se que
. Então
O denominador fica
. Assim
Portanto a população aproximada aos
(mesmas unidades de tempo de
) é
, já bem próxima de
.
Passo 7
Resolver e esboçar
para
e
.
Motivação da equação: a unidade de
indica reação de segunda ordem (unidade L/(mol·tempo) é típica de lei de taxa
). Assim a equação é
Essa equação é separável. Separe e integre:
Integral do lado esquerdo:
. Então
onde
é constante. Multiplicando por
:
com
. Usando
=>
. Então
Substituindo
e
(usar vírgula decimal conforme pedido):
logo
Esboço e propriedades úteis para desenhar o gráfico:
-
(começa em ). -
é positiva e estritamente decrescente para . - Assimptota horizontal:
. - Exemplo prático para o esboço: quando
resolve-se min. Ou seja, em a concentração caiu para metade.
Resposta
(a)
\n
(b) \n
(c) \n
(d)
(b)
(c)
(d)