X é uma variável aleatória, com f.g.m MX(t) e a, b são constantes positivas.
Y=a X+b, então MY(t)=e^b t MX(a t)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre variáveis aleatórias e função geradora de momentos (f.g.m). A gente tem uma variável aleatória $ X $ com f.g.m $ M_{X}(t) $ e duas constantes positivas $ a $ e $ b $. A nova variável $ Y $ é definida como $ Y = aX + b $. Nosso objetivo é encontrar a f.g.m de $ Y $, ou seja, $ M_{Y}(t) $.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a função geradora de momentos. A f.g.m de uma variável aleatória $ X $ é definida como:
X
Isso significa que a f.g.m gera os momentos (como a média e a variância) da variável $ X $.

Passo 3

Agora, queremos encontrar $ M_{Y}(t) $, onde $ Y = aX + b $. Vamos começar substituindo $ Y $ na definição da f.g.m:
MY(t)

Passo 4

Vamos simplificar a expressão dentro do esperado. Usando as propriedades dos exponentes, podemos separar a soma no expoente:
e^t(aX + b) = e^atX cdot e^bt
Então, substituindo de volta:
MY(t) = E[e^atX cdot e^bt]

Passo 5

Agora, perceba que $ e^{bt} $ é uma constante em relação a $ X $, então podemos tirar esse termo de dentro do esperado:
e^bt

Passo 6

Mas olha só, $ E\left[e^{atX}\right] $ é exatamente a f.g.m de $ X $ avaliada em $ at $:
E[e^atX]
Então, substituindo de volta:
X

Resposta

A função geradora de momentos de $ Y = aX + b $ é:
Y = aX + b

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