é uma variável aleatória, com f.g.m
e
são constantes positivas.
, então
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre variáveis aleatórias e função geradora de momentos (f.g.m). A gente tem uma variável aleatória $ X $ com f.g.m $ M_{X}(t) $ e duas constantes positivas $ a $ e $ b $. A nova variável $ Y $ é definida como $ Y = aX + b $. Nosso objetivo é encontrar a f.g.m de $ Y $, ou seja, $ M_{Y}(t) $.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a função geradora de momentos. A f.g.m de uma variável aleatória $ X $ é definida como:
Isso significa que a f.g.m gera os momentos (como a média e a variância) da variável $ X $.
Passo 3
Agora, queremos encontrar $ M_{Y}(t) $, onde $ Y = aX + b $. Vamos começar substituindo $ Y $ na definição da f.g.m:
Passo 4
Vamos simplificar a expressão dentro do esperado. Usando as propriedades dos exponentes, podemos separar a soma no expoente:
Então, substituindo de volta:
Passo 5
Agora, perceba que $ e^{bt} $ é uma constante em relação a $ X $, então podemos tirar esse termo de dentro do esperado:
Passo 6
Mas olha só, $ E\left[e^{atX}\right] $ é exatamente a f.g.m de $ X $ avaliada em $ at $:
Então, substituindo de volta:
Resposta
A função geradora de momentos de $ Y = aX + b $ é: