Sejam X1 sim N(2,4), X2 sim N(5,6) X3 sim N(4,4) e X4 sim N(4,2) v.a independentes. Se Y=X1+2 X24-X3+X42. Calcular P(|Y|>3).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre variáveis aleatórias que seguem distribuições normais e queremos encontrar a probabilidade de uma combinação delas resultar em um valor maior que 3 ou menor que -3. Isso envolve entender como somar e combinar essas distribuições normais para achar a distribuição final de $ Y $. Para resolver, vamos precisar usar propriedades de combinações lineares de variáveis normais e calcular médias e variâncias.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a média de $ Y $. A média de uma combinação linear de variáveis aleatórias é a combinação linear das médias. Então, temos:
Y
Sabendo que:
  • $ E[X_1] = 2 $
  • $ E[X_2] = 5 $
  • $ E[X_3] = 4 $
  • $ E[X_4] = 4 $
Substituindo:
E[Y] = E[X1] + 2E[X2]4 - E[X3] + E[X4]2
Então, a média de $ Y $ é 1.

Passo 3

Agora, vamos calcular a variância de $ Y $. Como as variáveis são independentes, a variância de uma combinação linear é a soma das variâncias multiplicadas pelos quadrados dos coeficientes:
Y
Sabendo que:
  • $ Var(X_1) = 4 $
  • $ Var(X_2) = 6 $
  • $ Var(X_3) = 4 $
  • $ Var(X_4) = 2 $
Substituindo:
Var(Y) = (14)^2 Var(X1) + (24)^2 Var(X2) + (-1)^2 Var(X3) + (12)^2 Var(X4)
Então, a variância de $ Y $ é 6.25.

Passo 4

Com a média e a variância, sabemos que $ Y $ também segue uma distribuição normal:
Y
Queremos calcular $ P(|Y| > 3) $, que é a probabilidade de $ Y $ ser maior que 3 ou menor que -3:
Y sim N(muY, sigmaY^2) = N(1, 6.25)

Passo 5

Vamos padronizar $ Y $ para usar a tabela da distribuição normal padrão. Primeiro, calculamos o escore Z:
Y
Para $ Y > 3 $:
Z = Y - muYsigmaY = Y - 1raiz6.25 = Y - 12.5
Para $ Y < -3 $:
Y > 3
Agora, usamos a tabela da distribuição normal padrão para encontrar as probabilidades:
Z = 3 - 12.5 = 22.5 = 0.8
Y < -3
Somando as duas probabilidades:
Z = -3 - 12.5 = -42.5 = -1.6

Resposta

A probabilidade $ P(|Y| > 3) $ é aproximadamente 26,67%.

Exercícios relacionados