Sejam
e
v.a independentes. Se
. Calcular
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre variáveis aleatórias que seguem distribuições normais e queremos encontrar a probabilidade de uma combinação delas resultar em um valor maior que 3 ou menor que -3. Isso envolve entender como somar e combinar essas distribuições normais para achar a distribuição final de $ Y $. Para resolver, vamos precisar usar propriedades de combinações lineares de variáveis normais e calcular médias e variâncias.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a média de $ Y $. A média de uma combinação linear de variáveis aleatórias é a combinação linear das médias. Então, temos:
Sabendo que:
- $ E[X_1] = 2 $
- $ E[X_2] = 5 $
- $ E[X_3] = 4 $
- $ E[X_4] = 4 $
Substituindo:
Então, a média de $ Y $ é 1.
Passo 3
Agora, vamos calcular a variância de $ Y $. Como as variáveis são independentes, a variância de uma combinação linear é a soma das variâncias multiplicadas pelos quadrados dos coeficientes:
Sabendo que:
- $ Var(X_1) = 4 $
- $ Var(X_2) = 6 $
- $ Var(X_3) = 4 $
- $ Var(X_4) = 2 $
Substituindo:
Então, a variância de $ Y $ é 6.25.
Passo 4
Com a média e a variância, sabemos que $ Y $ também segue uma distribuição normal:
Queremos calcular $ P(|Y| > 3) $, que é a probabilidade de $ Y $ ser maior que 3 ou menor que -3:
Passo 5
Vamos padronizar $ Y $ para usar a tabela da distribuição normal padrão. Primeiro, calculamos o escore Z:
Para $ Y > 3 $:
Para $ Y < -3 $:
Agora, usamos a tabela da distribuição normal padrão para encontrar as probabilidades:
Somando as duas probabilidades:
Resposta
A probabilidade $ P(|Y| > 3) $ é aproximadamente 26,67%.