1. Se X é uma variável aleatória uniforme no intervalo ( 0,1 ), calcule a função densidade e função acumulada de probabilidade da variável aleatória Y definida \operatorname{com} Y=e^{X}.
\text { R. } g(y)=\frac{1}{y}

Passo 1

O enunciado dá que X é uma variável aleatória uniforme no intervalo (0,1) e define uma nova variável aleatória Y por
Y = e^{X}.
O que o problema pede:
  • Calcular a função de distribuição acumulada (CDF) de Y, que chamarei de G(y)=P(Y\le y).
  • Calcular a função densidade de probabilidade (PDF) de Y, que chamarei de g(y).
Informações relevantes fornecidas:
  • A densidade de X é, para x\in(0,1),
f_X(x)=1,
e f_X(x)=0 fora de (0,1).
  • A transformação é y=h(x)=e^{x}. Observe que h é estritamente crescente em \mathbb{R}, logo em particular em (0,1).
  • O problema já sugere uma possível resposta para a densidade: g(y)=\dfrac{1}{y}. Vamos confirmar e achar também a CDF.

Passo 2

Determinar o intervalo (suporte) de Y. Como X\in(0,1) e a função exponencial é crescente,
\text{menor valor de }Y = e^{0}=1,\qquad \text{maior valor de }Y = e^{1}=e.
Portanto Y toma valores em (1,e). Isso significa que fora desse intervalo a densidade de Y deve ser zero e a CDF deve ser constante (0 antes de 1 e 1 depois de e).

Passo 3

Calcular a CDF de Y usando a definição e a monotonia da transformação. Para qualquer y,
G(y)=P(Y\le y)=P(e^{X}\le y).
Como a exponencial é crescente, a desigualdade e^{X}\le y é equivalente a X\le \ln y. Assim
G(y)=P(X\le \ln y)=F_X(\ln y),
onde F_X é a CDF de X.

Passo 4

Usar a CDF de X\). Para \(X\sim\) Uniforme\((0,1)\), \[F_X(x)= \begin{cases} 0, & x\le 0,\\[4pt] x, & 0<x<1,\\[4pt] 1, & x\ge 1. \end{cases}
Substituindo x=\ln y\] na expressão anterior e lembrando da faixa de \(\ln y:
  • Se y\le 1, então \ln y\le 0 e G(y)=0.
  • Se 1<y<e, então 0<\ln y<1 e
G(y)=F_X(\ln y)=\ln y.
  • Se y\ge e, então \ln y\ge 1 e G(y)=1.
Portanto, a CDF de Y é
G(y)= \begin{cases} 0, & y\le 1,\\[4pt] \ln y, & 1<y<e,\\[4pt] 1, & y\ge e. \end{cases}]

Passo 5

Explicar e aplicar a regra de transformação para densidade (método alternativo). Para uma transformação monotona y=h(x) com inversa x=h^{-1}(y), a densidade de Y é dada por
g(y)=f_X\big(h^{-1}(y)\big)\cdot\left|\frac{d}{dy}h^{-1}(y)\right|
para y no suporte de Y. Aqui h(x)=e^{x} e a inversa é h^{-1}(y)=\ln y. Então
\frac{d}{dy}h^{-1}(y)=\frac{d}{dy}\ln y=\frac{1}{y}.
Como f_X(x)=1 para x\in(0,1), temos para y\in(1,e) que h^{-1}(y)=\ln y\in(0,1) e portanto
g(y)=1\cdot\frac{1}{y}=\frac{1}{y},\qquad 1<y<e.
Fora desse intervalo g(y)=0.

Passo 6

Derivar a densidade a partir da CDF (verificação). Podemos também obter g(y) diferenciando G(y) no intervalo aberto onde ela é suave:
g(y)=\frac{d}{dy}G(y)=\frac{d}{dy}\ln y=\frac{1}{y},\qquad 1<y<e,
confirmando o resultado do passo anterior. Para y\le 1 e y\ge e a densidade é zero, já que a CDF é constante nessas regiões.

Passo 7

Interpretação e exemplo numérico rápido para fixar: se você quiser calcular P(Y\le 2),
P(Y\le 2)=G(2)=\ln 2\approx 0{,}6931.
Ou usando a densidade, \displaystyle P(1<Y\le 2)=\int_{1}^{2}\frac{1}{y}\,dy=\ln 2, como era de esperar.

Resposta

Função densidade:
g(y)= \begin{cases} \dfrac{1}{y}, & 1<y<e,\\[6pt] 0, & \text{caso contrário.} \end{cases}á
Função acumulada:
G(y)= \begin{cases} 0, & y\le 1,\\[4pt] \ln y, & 1<y<e,\\[4pt] 1, & y\ge e. \end{cases}]

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