Se X é uma variável aleatória uniforme no intervalo ( 0,1 ), calcule a função densidade e função acumulada de probabilidade da variável aleatória Y definida \operatorname{com} Y=e^{X}.
\text { R. } g(y)=\frac{1}{y}
Passo 1
O enunciado dá que X é uma variável aleatória uniforme no intervalo (0,1) e define uma nova variável aleatória Y por
Y = e^{X}.
O que o problema pede:
Calcular a função de distribuição acumulada (CDF) de Y, que chamarei de G(y)=P(Y\le y).
Calcular a função densidade de probabilidade (PDF) de Y, que chamarei de g(y).
Informações relevantes fornecidas:
A densidade de X é, para x\in(0,1),
f_X(x)=1,
e f_X(x)=0 fora de (0,1).
A transformação é y=h(x)=e^{x}. Observe que h é estritamente crescente em \mathbb{R}, logo em particular em (0,1).
O problema já sugere uma possível resposta para a densidade: g(y)=\dfrac{1}{y}. Vamos confirmar e achar também a CDF.
Passo 2
Determinar o intervalo (suporte) de Y. Como X\in(0,1) e a função exponencial é crescente,
\text{menor valor de }Y = e^{0}=1,\qquad \text{maior valor de }Y = e^{1}=e.
Portanto Y toma valores em (1,e). Isso significa que fora desse intervalo a densidade de Y deve ser zero e a CDF deve ser constante (0 antes de 1 e 1 depois de e).
Passo 3
Calcular a CDF de Y usando a definição e a monotonia da transformação. Para qualquer y,
G(y)=P(Y\le y)=P(e^{X}\le y).
Como a exponencial é crescente, a desigualdade e^{X}\le y é equivalente a X\le \ln y. Assim
G(y)=P(X\le \ln y)=F_X(\ln y),
onde F_X é a CDF de X.
Passo 4
Usar a CDF de X\). Para \(X\sim\) Uniforme\((0,1)\),
\[F_X(x)= \begin{cases} 0, & x\le 0,\\[4pt] x, & 0<x<1,\\[4pt] 1, & x\ge 1. \end{cases}
Substituindo x=\ln y\] na expressão anterior e lembrando da faixa de \(\ln y:
Se y\le 1, então \ln y\le 0 e G(y)=0.
Se 1<y<e, então 0<\ln y<1 e
G(y)=F_X(\ln y)=\ln y.
Se y\ge e, então \ln y\ge 1 e G(y)=1.
Portanto, a CDF de Y é
G(y)= \begin{cases} 0, & y\le 1,\\[4pt] \ln y, & 1<y<e,\\[4pt] 1, & y\ge e. \end{cases}]
Passo 5
Explicar e aplicar a regra de transformação para densidade (método alternativo). Para uma transformação monotona y=h(x) com inversa x=h^{-1}(y), a densidade de Y é dada por