Considere os seguintes modelos ARIMA:
i)
;
ii)
;
iii)
.
Pede-se:
a) Determine as funções característica dos modelos acima;
b) Idenfique cada um dos modelo e os seus respectivos parâmetros;
c) Verifique se cada deles é estacionário e/ou invertível e justifique.
i)
ii)
iii)
a) Determine as funções característica dos modelos acima;
b) Idenfique cada um dos modelo e os seus respectivos parâmetros;
c) Verifique se cada deles é estacionário e/ou invertível e justifique.
Passo 1
O enunciado dá três modelos para a série
com ruído
e pede três coisas: (a) as funções características dos modelos, (b) identificar o tipo de cada modelo e listar os parâmetros, (c) verificar estacionaridade e invertibilidade de cada um e justificar.
Informações dadas (copiadas do enunciado, sem alterar):
Modelo i: .
Modelo ii: .
Modelo iii: .
Informações dadas (copiadas do enunciado, sem alterar):
Modelo i:
Modelo ii:
Modelo iii:
Passo 2
Reescrever cada modelo na forma operador em
(onde
) e identificar as polinômios
(AR) e
(MA).
Modelo i: comece por escrever o lado esquerdo como operação em
:
Logo a função característica do AR é
e a do MA é
.
Modelo ii: simplifique primeiro os termos em
:
implica
. Em operador
:
Logo
e
.
Modelo iii: já está em forma MA:
então
e
.
Passo 3
Explicar como identificamos o tipo do modelo e extrair os parâmetros (convenção usada): usamos a forma padrão
onde
(os
são os coeficientes AR no sinal clássico) e
(os
são coeficientes MA). Vou comparar cada
e
com essas formas e listar
e
.
Modelo i:
. Comparando com
obtemos
então
. Há um termo MA até
com coeficientes
e
. Assim é um modelo ARMA
com
,
,
.
Modelo ii:
. Comparando com
obtemos
,
.
. É um ARMA
com
,
,
.
Modelo iii:
(ou seja
),
,
. É um MA
ou ARMA
com
,
.
Passo 4
Explicar o critério de estacionaridade e aplicar:
- Critério: um processo ARMA é (covariância) estacionário se todas as raízes do polinômio
estiverem fora do círculo unitário, isto é, para cada raiz de temos . Se existir raiz com então a parte AR tem uma raiz na ou dentro da circunferência unitária e o processo não é estacionário (no caso há raiz unitária).
Vou calcular as raízes de cada(troquei por para encontrar raízes).
Modelo i:
. Resolver
dá
Módulo
. Todas as raízes (só essa) estão fora do círculo unitário, logo o modelo i é estacionário.
Modelo ii:
. Para achar as raízes, multiplico por
para limpar os decimais:
Usando a fórmula quadrática ou fatorando, obtemos as raízes
e
. A raiz
tem
(raiz unitária) — portanto o modelo ii não é estacionário (tem um unit root). Comentário intuitivo: presença de raiz em
significa tendência aleatória/série integrada de ordem 1 possível.
Modelo iii:
. Não há raízes finitas (equivale a nenhum termo AR), por definição uma MA finita é sempre estacionária. Logo o modelo iii é estacionário.
Passo 5
Explicar o critério de invertibilidade e aplicar:
- Critério: um modelo MA é invertível se todas as raízes do polinômio
estiverem fora do círculo unitário, isto é, para todas as raízes. Isso garante que podemos expressar como série convergente em termos de .
Vou calcular as raízes de cada.
Modelo i:
. Multiplico por
para evitar decimais:
ainda tem decimais; melhor: multiplique por
para integers:
rearranjando dá
ou
. Discriminante
. Raízes:
Uma raiz é
com
. Como existe raiz sobre a fronteira unitária, o polinômio MA não satisfaz a condição estrita
e, portanto, o modelo i não é invertível (há uma raiz unitária em
).
Modelo ii:
. Resolver
dá
Temos
, logo a parte MA é invertível. Assim o modelo ii é invertível.
Modelo iii:
. Multiplico por
para limpar decimais:
ainda decimal — prefiro multiplicar por
:
, reorganizando
. Discriminante
. Raízes:
Numericamente
, então
Ambas as raízes têm módulo maior que
(aprox.
e
), portanto o modelo iii é invertível.
Passo 6
Resumo e interpretação final (já justifiquei os cálculos nos passos anteriores):
- i) estacionário (todas as raízes de
fora do círculo unitário) mas não invertível (raiz unitária em ). - ii) não estacionário (tem raiz unitária em
) mas invertível (raiz de com ). - iii) estacionário e invertível (MA(2) com raízes de
fora do círculo unitário).
Resposta
i)
Modelo: ARMA
com
Estacionário: sim (
é única raiz de
,
). Invertível: não (raízes de
são
e
; há raiz unitária
).
ii)
Modelo: ARMA
com
Estacionário: não (raízes de
são
e
, tem raiz unitária
). Invertível: sim (raiz de
é
, com
).
iii)
Modelo: MA
(ARMA
) com
Estacionário: sim (processo MA finito é estacionário). Invertível: sim (raízes de
são
e
, ambos com
).