Considere os seguintes modelos ARIMA:
i) Z_{t}+0,5 Z_{t-1}=a_{t}-0,4 a_{t-1}-0,6 a_{t-2};
ii) Z_{t}=Z_{t-1}-0,5 Z_{t-1}+0,5 Z_{t-2}+a_{t}-0,3 a_{t-1};
iii) Z_{t}=a_{t}+0,2 a_{t-1}-0,7 a_{t-2}.
Pede-se:
a) Determine as funções característica dos modelos acima;
b) Idenfique cada um dos modelo e os seus respectivos parâmetros;
c) Verifique se cada deles é estacionário e/ou invertível e justifique.

Passo 1

O enunciado dá três modelos para a série (Z_t) com ruído (a_t) e pede três coisas: (a) as funções características dos modelos, (b) identificar o tipo de cada modelo e listar os parâmetros, (c) verificar estacionaridade e invertibilidade de cada um e justificar.
Informações dadas (copiadas do enunciado, sem alterar):
Modelo i: Z_{t}+0,5 Z_{t-1}=a_{t}-0,4 a_{t-1}-0,6 a_{t-2}.
Modelo ii: Z_{t}=Z_{t-1}-0,5 Z_{t-1}+0,5 Z_{t-2}+a_{t}-0,3 a_{t-1}.
Modelo iii: Z_{t}=a_{t}+0,2 a_{t-1}-0,7 a_{t-2}.

Passo 2

Reescrever cada modelo na forma operador em B (onde B Z_t = Z_{t-1}) e identificar as polinômios \varphi(B) (AR) e \theta(B) (MA).
Modelo i: comece por escrever o lado esquerdo como operação em B:
(1+0,5B)Z_t = (1-0,4B-0,6B^2)a_t.
Logo a função característica do AR é \varphi(B)=1+0,5B e a do MA é \theta(B)=1-0,4B-0,6B^2.
Modelo ii: simplifique primeiro os termos em Z_{t-1}:
Z_{t}=Z_{t-1}-0,5Z_{t-1}+0,5Z_{t-2}+\cdots implica Z_t=0,5Z_{t-1}+0,5Z_{t-2}+a_t-0,3a_{t-1}. Em operador B:
(1-0,5B-0,5B^2)Z_t = (1-0,3B)a_t.
Logo \varphi(B)=1-0,5B-0,5B^2 e \theta(B)=1-0,3B.
Modelo iii: já está em forma MA:
Z_t = (1+0,2B-0,7B^2)a_t,
então \varphi(B)=1 e \theta(B)=1+0,2B-0,7B^2.

Passo 3

Explicar como identificamos o tipo do modelo e extrair os parâmetros (convenção usada): usamos a forma padrão
\varphi(B)Z_t = \theta(B)a_t,
onde \varphi(B)=1-\phi_1B-\phi_2B^2-\cdots (os \phi_i são os coeficientes AR no sinal clássico) e \theta(B)=1+\theta_1B+\theta_2B^2+\cdots (os \theta_i são coeficientes MA). Vou comparar cada \varphi(B) e \theta(B) com essas formas e listar p e q.
Modelo i: \varphi(B)=1+0,5B. Comparando com 1-\phi_1B obtemos -\phi_1=0,5 então \phi_1=-0,5. Há um termo MA até B^2 com coeficientes \theta_1=-0,4 e \theta_2=-0,6. Assim é um modelo ARMA (1,2) com \phi_1=-0,5, \theta_1=-0,4, \theta_2=-0,6.
Modelo ii: \varphi(B)=1-0,5B-0,5B^2. Comparando com 1-\phi_1B-\phi_2B^2 obtemos \phi_1=0,5, \phi_2=0,5. \theta_1=-0,3. É um ARMA (2,1) com \phi_1=0,5, \phi_2=0,5, \theta_1=-0,3.
Modelo iii: \varphi(B)=1 (ou seja \phi_1=\phi_2=\cdots=0), \theta_1=0,2, \theta_2=-0,7. É um MA (2) ou ARMA (0,2) com \theta_1=0,2, \theta_2=-0,7.

Passo 4

Explicar o critério de estacionaridade e aplicar:
  • Critério: um processo ARMA é (covariância) estacionário se todas as raízes do polinômio \varphi(z)=0 estiverem fora do círculo unitário, isto é, para cada raiz z_i de \varphi(z) temos |z_i|>1. Se existir raiz com |z_i|\le 1 então a parte AR tem uma raiz na ou dentro da circunferência unitária e o processo não é estacionário (no caso |z_i|=1 há raiz unitária).
    Vou calcular as raízes de cada \varphi(z) (troquei B por z para encontrar raízes).
Modelo i: \varphi(z)=1+0,5z. Resolver 1+0,5z=0
z=-\frac{1}{0,5}=-2.
Módulo |-2|=2>1. Todas as raízes (só essa) estão fora do círculo unitário, logo o modelo i é estacionário.
Modelo ii: \varphi(z)=1-0,5z-0,5z^2. Para achar as raízes, multiplico por -2 para limpar os decimais:
z^2+z-2=0.
Usando a fórmula quadrática ou fatorando, obtemos as raízes z=1 e z=-2. A raiz z=1 tem |z|=1 (raiz unitária) — portanto o modelo ii não é estacionário (tem um unit root). Comentário intuitivo: presença de raiz em 1 significa tendência aleatória/série integrada de ordem 1 possível.
Modelo iii: \varphi(z)=1. Não há raízes finitas (equivale a nenhum termo AR), por definição uma MA finita é sempre estacionária. Logo o modelo iii é estacionário.

Passo 5

Explicar o critério de invertibilidade e aplicar:
  • Critério: um modelo MA é invertível se todas as raízes do polinômio \theta(z)=0 estiverem fora do círculo unitário, isto é, |z_i|>1 para todas as raízes. Isso garante que podemos expressar a_t como série convergente em termos de Z_t,Z_{t-1},\dots.
    Vou calcular as raízes de cada \theta(z).
Modelo i: \theta(z)=1-0,4z-0,6z^2. Multiplico por 3 para evitar decimais: 3-1,2z-1,8z^2 ainda tem decimais; melhor: multiplique por 5 para integers: 5-2z-3z^2=0 rearranjando dá -3z^2-2z+5=0 ou 3z^2+2z-5=0. Discriminante \Delta=2^2-4\cdot3\cdot(-5)=4+60=64. Raízes:
z=\frac{-2\pm8}{6} \Rightarrow z_1=1,\quad z_2=-\tfrac{5}{3}.
Uma raiz é z_1=1 com |z_1|=1. Como existe raiz sobre a fronteira unitária, o polinômio MA não satisfaz a condição estrita |z|>1 e, portanto, o modelo i não é invertível (há uma raiz unitária em \theta).
Modelo ii: \theta(z)=1-0,3z. Resolver 1-0,3z=0
z=\frac{1}{0,3}=\frac{10}{3}\approx 3,333\ldots
Temos |z|>1, logo a parte MA é invertível. Assim o modelo ii é invertível.
Modelo iii: \theta(z)=1+0,2z-0,7z^2. Multiplico por 7 para limpar decimais: 7+1,4z-4,9z^2 ainda decimal — prefiro multiplicar por 10: 10+2z-7z^2=0, reorganizando 7z^2-2z-10=0. Discriminante \Delta = (-2)^2-4\cdot7\cdot(-10)=4+280=284. Raízes:
z=\frac{2\pm\sqrt{284}}{14}=\frac{1\pm\sqrt{71}}{7}.
Numericamente \sqrt{71}\approx 8,426, então
z_1\approx\frac{1+8,426}{7}\approx1,3466,\qquad z_2\approx\frac{1-8,426}{7}\approx-1,0609.
Ambas as raízes têm módulo maior que 1 (aprox. 1,3466 e 1,0609), portanto o modelo iii é invertível.

Passo 6

Resumo e interpretação final (já justifiquei os cálculos nos passos anteriores):
  • i) estacionário (todas as raízes de \varphi fora do círculo unitário) mas não invertível (raiz unitária em \theta).
  • ii) não estacionário (tem raiz unitária em \varphi) mas invertível (raiz de \theta com |z|>1).
  • iii) estacionário e invertível (MA(2) com raízes de \theta fora do círculo unitário).

Resposta

i) \varphi(B)=1+0,5B,\;\theta(B)=1-0,4B-0,6B^2. Modelo: ARMA (1,2) com \phi_1=-0,5,\;\theta_1=-0,4,\;\theta_2=-0,6. Estacionário: sim ( z=-2 é única raiz de \varphi, |-2|>1). Invertível: não (raízes de \theta são z=1 e z=-\tfrac{5}{3}; há raiz unitária z=1).
ii) \varphi(B)=1-0,5B-0,5B^2,\;\theta(B)=1-0,3B. Modelo: ARMA (2,1) com \phi_1=0,5,\;\phi_2=0,5,\;\theta_1=-0,3. Estacionário: não (raízes de \varphi são z=1 e z=-2, tem raiz unitária z=1). Invertível: sim (raiz de \theta é z=\tfrac{10}{3}, com |z|>1).
iii) \varphi(B)=1,\;\theta(B)=1+0,2B-0,7B^2. Modelo: MA (2) (ARMA (0,2)) com \theta_1=0,2,\;\theta_2=-0,7. Estacionário: sim (processo MA finito é estacionário). Invertível: sim (raízes de \theta são z=\dfrac{1\pm\sqrt{71}}{7}\approx1,3466 e -1,0609, ambos com |z|>1).

Exercícios relacionados