Se x, y \in \mathbb{R}, mostre que |x+y|=|x|+|y| se, e somente se, x y \geq 0.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para quaisquer x,y\in\mathbb{R},
|x+y| = |x| + |y|
se, e somente se,
x\,y \ge 0.
O conteúdo principal envolve propriedades do valor absoluto e análise de casos segundo o sinal de x e de y.

Passo 2

Prova da implicação direta: suponha x\,y\ge 0. Então x e y têm o mesmo sinal ou um deles é zero.
Se x\ge 0 e y\ge 0, então x+y\ge 0 e
|x+y| = x+y = |x| + |y|.
Se x\le 0 e y\le 0, então x+y\le 0 e
|x+y| = -(x+y) = (-x)+(-y) = |x| + |y|.
Em ambos os casos ocorre |x+y| = |x| + |y|.

Passo 3

Prova da implicação inversa: suponha
|x+y| = |x| + |y|.
Vamos mostrar que necessariamente x\,y \ge 0. Equivalente a isso é demonstrar que, se x\,y<0, então
|x+y| < |x| + |y|.
De fato, se x e y têm sinais opostos, sem perda de generalidade suponha x>0 e y<0.
  • Se |x|\ge |y|, então x+y\ge 0 e |x+y| = x+y = |x| - |y| < |x| + |y|.
  • Se |x|<|y|, então x+y<0 e |x+y| = -(x+y) = |y| - |x| < |x| + |y|.
Em ambas as sub-situações a desigualdade torna-se estrita, contradizendo |x+y| = |x| + |y|. Logo não pode ocorrer x\,y<0, isto é, deve ser x\,y\ge 0.

Resposta

Portanto, mostramos que
|x+y| = |x| + |y| \quad\Longleftrightarrow\quad x\,y \ge 0.

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