Se
, mostre que
se, e somente se,
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, para quaisquer
,
se, e somente se,
O conteúdo principal envolve propriedades do valor absoluto e análise de casos segundo o sinal de
e de
.
Passo 2
Prova da implicação direta: suponha
. Então
e
têm o mesmo sinal ou um deles é zero.
Se e
, então
e
Se
Se
e
, então
e
Em ambos os casos ocorre
.
Passo 3
Prova da implicação inversa: suponha
Vamos mostrar que necessariamente
. Equivalente a isso é demonstrar que, se
, então
De fato, se
e
têm sinais opostos, sem perda de generalidade suponha
e
.
- Se
, então e - Se
, então e
Em ambas as sub-situações a desigualdade torna-se estrita, contradizendo
. Logo não pode ocorrer
, isto é, deve ser
.
Resposta
Portanto, mostramos que