Determine os valores de x \in \mathbb{R} que satisfaçam
|x+1|+|x-1|<4

Passo 1

O enunciado pede os x\in\mathbb{R} que satisfazem
\lvert x+1\rvert + \lvert x-1\rvert < 4.
Para resolver, vamos usar a definição de valor absoluto em três regiões: x\le -1, -1<x<1 e x\ge1.

Passo 2

Na região x\le -1: aqui x+1\le0 e x-1\le0, então
\lvert x+1\rvert = -(x+1),\quad \lvert x-1\rvert = -(x-1).
Logo
\lvert x+1\rvert + \lvert x-1\rvert = -(x+1) - (x-1) = -2x,
e a desigualdade fica
-2x < 4 \quad\Longrightarrow\quad x > -2.
Fazendo a interseção com x\le -1, obtemos
-2 < x \le -1.

Passo 3

Na região -1<x<1: tem x+1>0 mas x-1<0, logo
\lvert x+1\rvert = x+1,\quad \lvert x-1\rvert = -(x-1).
Assim
\lvert x+1\rvert + \lvert x-1\rvert = (x+1) + (1-x) = 2,
e como 2<4 para todo x nesse intervalo, toda a região (-1,1) satisfaz.

Passo 4

Na região x\ge1: temos x+1\ge0 e x-1\ge0, então
\lvert x+1\rvert = x+1,\quad \lvert x-1\rvert = x-1.
Assim
\lvert x+1\rvert + \lvert x-1\rvert = (x+1)+(x-1) = 2x,
e a desigualdade 2x<4 x<2. Intersecando com x\ge1, obtemos
1 \le x < 2.

Passo 5

União das três soluções:
(-2,-1] \;\cup\; (-1,1) \;\cup\; [1,2) \;=\; (-2,2).

Resposta

\{\,x\in\mathbb{R}\mid -2<x<2\}

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