Para
é solução geral da EDO
?
Passo 1
O enunciado dá a EDO
e pergunta se a família
é a solução geral. Informações relevantes:
- A EDO está na forma de derivada primeira com termo em
. - A proposta é uma família com um parâmetro arbitrário
.
O objetivo é (a) verificar se essa família satisfaz a EDO e (b) decidir se ela representa a solução geral (isto é, se reúne todas as soluções possíveis, incluindo soluções singulares).
Passo 2
Vamos verificar por substituição direta se
satisfaz a EDO. Primeiro calculemos a derivada de
. Escrevendo
temos:
Como
, obtemos
Agora calculemos
. Como
,
Somando os termos da EDO:
Portanto, para todo
tal que
, a função
satisfaz a equação diferencial.
Passo 3
Agora resolvemos a EDO de forma sistemática (método das variáveis separáveis) para obter a solução geral e comparar com a família dada. Reescrevendo a EDO:
Separando variáveis:
Integramos ambos os lados. A integral do lado esquerdo é
porque
. A do lado direito é
Igualando (absorvendo constantes) obtemos
onde
é uma constante arbitrária (combinação de
). Multiplicando por
e invertendo,
Logo a integração dá exatamente a família proposta (com
no lugar de
).
Passo 4
Comentários sobre domínio e constantes:
- A dedução por separação pressupôs
(dividimos por ), logo a família representa todas as soluções que são não-nulas em algum intervalo. - Para valores de
tais que em algum real, a expressão tem singularidade (a solução está definida apenas em intervalos que não contêm esses pontos). Por exemplo, se e é quadrado, há pontos onde a solução explode; se , a solução está definida para todo . - A constante
varia por todos os reais e é o parâmetro arbitrário da solução geral obtida por separação.
Passo 5
Existe alguma solução que a família não represente? Sim: a solução identicamente nula
é também solução da EDO, pois substituindo
obtemos
. A família
nunca produz
para qualquer valor finito de
. Portanto
é uma solução singular que não aparece na forma
.
Passo 6
Conclusão sobre “solução geral”: a integração por separação fornece a família
, que é a solução geral entre as soluções não-nulas (contém um parâmetro arbitrário). No entanto, a solução nula
é uma solução adicional (singular) não representada por essa fórmula.
Resposta
Sim,
é a família de soluções obtida pela integração (é a solução geral entre as soluções não-nulas).
Além dessa família há a solução singular , que não é obtida para nenhum
finito.
Além dessa família há a solução singular