Para y=\frac{1}{x^{2}+c} é solução geral da EDO y^{\prime}+2 x y^{2}=0 ?

Passo 1

O enunciado dá a EDO
y'+2x y^{2}=0
e pergunta se a família
y=\frac{1}{x^{2}+c}
é a solução geral. Informações relevantes:
  • A EDO está na forma de derivada primeira com termo em y^{2}.
  • A proposta é uma família com um parâmetro arbitrário c.
    O objetivo é (a) verificar se essa família satisfaz a EDO e (b) decidir se ela representa a solução geral (isto é, se reúne todas as soluções possíveis, incluindo soluções singulares).

Passo 2

Vamos verificar por substituição direta se y=\dfrac{1}{x^{2}+c} satisfaz a EDO. Primeiro calculemos a derivada de y. Escrevendo y=(x^{2}+c)^{-1} temos:
y' = \frac{d}{dx}\bigl((x^{2}+c)^{-1}\bigr) = -1\cdot (x^{2}+c)^{-2}\cdot \frac{d}{dx}(x^{2}+c).
Como \dfrac{d}{dx}(x^{2}+c)=2x, obtemos
y' = -\frac{2x}{(x^{2}+c)^{2}}.
Agora calculemos 2x y^{2}. Como y^{2}=(x^{2}+c)^{-2},
2x y^{2} = \frac{2x}{(x^{2}+c)^{2}}.
Somando os termos da EDO:
y' + 2x y^{2} = -\frac{2x}{(x^{2}+c)^{2}} + \frac{2x}{(x^{2}+c)^{2}} = 0.
Portanto, para todo x tal que x^{2}+c\neq0, a função y=\dfrac{1}{x^{2}+c} satisfaz a equação diferencial.

Passo 3

Agora resolvemos a EDO de forma sistemática (método das variáveis separáveis) para obter a solução geral e comparar com a família dada. Reescrevendo a EDO:
\frac{dy}{dx} = -2x y^{2}.
Separando variáveis:
\frac{dy}{y^{2}} = -2x\,dx.
Integramos ambos os lados. A integral do lado esquerdo é
\int y^{-2}\,dy = -\frac{1}{y} + C_{1},
porque \dfrac{d}{dy}\bigl(-y^{-1}\bigr)=y^{-2}. A do lado direito é
\int -2x\,dx = -x^{2}+C_{2}.
Igualando (absorvendo constantes) obtemos
-\frac{1}{y} = -x^{2} + C,
onde C é uma constante arbitrária (combinação de C_{1},C_{2}). Multiplicando por -1 e invertendo,
\frac{1}{y} = x^{2} + C \quad\Longrightarrow\quad y=\frac{1}{x^{2}+C}.
Logo a integração dá exatamente a família proposta (com C no lugar de c).

Passo 4

Comentários sobre domínio e constantes:
  • A dedução por separação pressupôs y\neq0 (dividimos por y^{2}), logo a família \,y=\dfrac{1}{x^{2}+c}\, representa todas as soluções que são não-nulas em algum intervalo.
  • Para valores de c tais que x^{2}+c=0 em algum x real, a expressão tem singularidade (a solução está definida apenas em intervalos que não contêm esses pontos). Por exemplo, se c<0 e -c é quadrado, há pontos onde a solução explode; se c>0, a solução está definida para todo x.
  • A constante c varia por todos os reais e é o parâmetro arbitrário da solução geral obtida por separação.

Passo 5

Existe alguma solução que a família não represente? Sim: a solução identicamente nula y\equiv 0 é também solução da EDO, pois substituindo y=0 obtemos 0+2x\cdot0=0. A família y=\dfrac{1}{x^{2}+c} nunca produz y=0 para qualquer valor finito de c. Portanto y\equiv0 é uma solução singular que não aparece na forma 1/(x^{2}+c).

Passo 6

Conclusão sobre “solução geral”: a integração por separação fornece a família \,y=\dfrac{1}{x^{2}+C}\,, que é a solução geral entre as soluções não-nulas (contém um parâmetro arbitrário). No entanto, a solução nula y\equiv0 é uma solução adicional (singular) não representada por essa fórmula.

Resposta

Sim, \displaystyle y=\frac{1}{x^{2}+c} é a família de soluções obtida pela integração (é a solução geral entre as soluções não-nulas).
Além dessa família há a solução singular \;y\equiv0\;, que não é obtida para nenhum c finito.

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