Encontrar autovalores e autovetores e determinar se o sistema é estável
\frac{d x}{d t}=x+2 y
\frac{d y}{d t}=4 x+3 y

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema linear
\frac{dx}{dt}=x+2y,\qquad \frac{dy}{dt}=4x+3y
As perguntas são:
  • Encontrar os autovalores (autovalores = valores de \lambda tais que exista vetor não nulo v com Av=\lambda v).
  • Encontrar os autovetores correspondentes.
  • Determinar se o sistema (o ponto de equilíbrio na origem) é estável, assintoticamente estável ou instável.
Informações dadas (explícitas no enunciado):
  • A matriz de coeficientes é composta pelos coeficientes das equações acima:
A=\begin{pmatrix}1 & 2 \\[4pt] 4 & 3\end{pmatrix}.]

Passo 2

Transformar a busca de autovalores em um problema algébrico: autovalores \lambda são soluções de
\det(A-\lambda I)=0,
onde I é a matriz identidade 2\times2. Calcule A-\lambda I e o determinante:
A-\lambda I=\begin{pmatrix}1-\lambda & 2 \\[4pt] 4 & 3-\lambda\end{pmatrix},
\det(A-\lambda I)=(1-\lambda)(3-\lambda)-2\cdot 4.
Agora vamos expandir essa expressão cuidadosamente.]

Passo 3

Expandindo o determinante:
\det(A-\lambda I)=(1-\lambda)(3-\lambda)-8.
Multiplicando:
(1-\lambda)(3-\lambda)=1\cdot3 -1\cdot\lambda -\lambda\cdot3 +\lambda^2 =3-4\lambda+\lambda^2.
Portanto
\det(A-\lambda I)=\lambda^2-4\lambda+3-8=\lambda^2-4\lambda-5.
Fatorando o polinômio quadrático:
\lambda^2-4\lambda-5=(\lambda-5)(\lambda+1).
Logo as soluções (autovalores) são os zeros desses fatores:
\lambda_1=5,\qquad \lambda_2=-1.
Explicação didática rápida: o polinômio característico é um polinômio quadrático em \lambda. Encontrar autovalores equivale a resolver esse polinômio igual a zero. Aqui ele fatorou de forma simples, mas, se não fatorasse, usaríamos a fórmula de Bhaskara (fórmula quadrática).

Passo 4

Agora encontramos autovetores. Para cada autovalor \lambda resolvemos (A-\lambda I)v=0.
Para \lambda_1=5:
A-5I=\begin{pmatrix}1-5 & 2 \\[4pt] 4 & 3-5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-4 & 2 \\[4pt] 4 & -2\end{pmatrix}.
Precisamos achar v=\begin{pmatrix}v_1\\[2pt] v_2\end{pmatrix} tal que
\begin{pmatrix}-4 & 2 \\[4pt] 4 & -2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}v_1\\[2pt] v_2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\[2pt] 0\end{pmatrix}.
Das equações obtém-se, por exemplo,
-4v_1+2v_2=0 \quad\Rightarrow\quad 2v_2=4v_1 \quad\Rightarrow\quad v_2=2v_1.
Escolhendo v_1=1 (qualquer múltiplo não nulo serve), obtemos o autovetor
v_1=\begin{pmatrix}1\\[2pt] 2\end{pmatrix}.
Observação: autovetores são determinados até multiplicação por escalar — escolher v_1=1 é uma escolha de conveniência.]

Passo 5

Para \lambda_2=-1:
A-(-1)I=A+I=\begin{pmatrix}1+1 & 2 \\[4pt] 4 & 3+1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2 & 2 \\[4pt] 4 & 4\end{pmatrix}.
Procuramos v\neq0 com
\begin{pmatrix}2 & 2 \\[4pt] 4 & 4\end{pmatrix}\begin{pmatrix}v_1\\[2pt] v_2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\[2pt] 0\end{pmatrix}.
Da primeira linha:
2v_1+2v_2=0 \quad\Rightarrow\quad v_1=-v_2.
Escolhendo v_2=1 (novamente por conveniência) obtemos o autovetor
v_2=\begin{pmatrix}1\\[2pt] -1\end{pmatrix}
(ou, se preferir o sinal invertido, \begin{pmatrix}-1\\[2pt]1\end{pmatrix}, ambos válidos).]

Passo 6

Montando a solução geral do sistema linear homogêneo: como temos dois autovalores distintos com dois autovetores linearmente independentes, a solução geral é
x(t)=C_1 e^{\lambda_1 t} v_1 + C_2 e^{\lambda_2 t} v_2 = C_1 e^{5t}\begin{pmatrix}1\\[2pt] 2\end{pmatrix} + C_2 e^{-t}\begin{pmatrix}1\\[2pt] -1\end{pmatrix},
onde C_1,C_2 são constantes determinadas pelas condições iniciais.
Classificação da estabilidade:
  • Um equilíbrio linear é assintoticamente estável se todos os autovalores tiverem parte real negativa (todas as direções decaem exponencialmente).
  • É instável se algum autovalor tiver parte real positiva (existem direções em que soluções crescem exponencialmente).
    Aqui os autovalores são \lambda_1=5>0 e \lambda_2=-1<0. Isso significa que há uma direção (vetor próprio associado a \lambda_1) em que as soluções crescem como e^{5t} e outra direção em que decaem como e^{-t}. Esse tipo de ponto de equilíbrio é chamado de “sela” (saddle) e é instável: pequenas perturbações na direção do autovetor com \lambda=5 levam a crescimento exponencial e saída da origem.]

Resposta

\lambda_1=5,\; v_1=\begin{pmatrix}1\\[2pt]2\end{pmatrix}
\lambda_2=-1,\; v_2=\begin{pmatrix}1\\[2pt]-1\end{pmatrix}
Sistema instável (ponto de sela).]

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