Encontrar autovalores e autovetores e determinar se o sistema é estável
Passo 1
O enunciado nos dá o sistema linear
As perguntas são:
- Encontrar os autovalores (autovalores = valores de
tais que exista vetor não nulo com ). - Encontrar os autovetores correspondentes.
- Determinar se o sistema (o ponto de equilíbrio na origem) é estável, assintoticamente estável ou instável.
Informações dadas (explícitas no enunciado):
- A matriz de coeficientes é composta pelos coeficientes das equações acima:
Passo 2
Transformar a busca de autovalores em um problema algébrico: autovalores
são soluções de
onde
é a matriz identidade
. Calcule
e o determinante:
Agora vamos expandir essa expressão cuidadosamente.]
Passo 3
Expandindo o determinante:
Multiplicando:
Portanto
Fatorando o polinômio quadrático:
Logo as soluções (autovalores) são os zeros desses fatores:
Explicação didática rápida: o polinômio característico é um polinômio quadrático em
. Encontrar autovalores equivale a resolver esse polinômio igual a zero. Aqui ele fatorou de forma simples, mas, se não fatorasse, usaríamos a fórmula de Bhaskara (fórmula quadrática).
Passo 4
Agora encontramos autovetores. Para cada autovalor
resolvemos
.
Para
:
Precisamos achar
tal que
Das equações obtém-se, por exemplo,
Escolhendo
(qualquer múltiplo não nulo serve), obtemos o autovetor
Observação: autovetores são determinados até multiplicação por escalar — escolher
é uma escolha de conveniência.]
Passo 5
Para
:
Procuramos
com
Da primeira linha:
Escolhendo
(novamente por conveniência) obtemos o autovetor
(ou, se preferir o sinal invertido,
, ambos válidos).]
Passo 6
Montando a solução geral do sistema linear homogêneo: como temos dois autovalores distintos com dois autovetores linearmente independentes, a solução geral é
onde
são constantes determinadas pelas condições iniciais.
Classificação da estabilidade:
- Um equilíbrio linear é assintoticamente estável se todos os autovalores tiverem parte real negativa (todas as direções decaem exponencialmente).
- É instável se algum autovalor tiver parte real positiva (existem direções em que soluções crescem exponencialmente).
Aqui os autovalores sãoe . Isso significa que há uma direção (vetor próprio associado a ) em que as soluções crescem como e outra direção em que decaem como . Esse tipo de ponto de equilíbrio é chamado de “sela” (saddle) e é instável: pequenas perturbações na direção do autovetor com levam a crescimento exponencial e saída da origem.]
Resposta
Sistema instável (ponto de sela).]