Resolva a EDO
.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e pede resolver essa EDO (obter a solução geral
). Informações relevantes fornecidas:
- A incógnita é a função
de . - A equação relaciona a derivada
com e . - Não foi dado valor inicial; portanto buscamos a solução geral com constante de integração.
Passo 2
Vamos rearranjar a equação para colocar todos os termos com
de um lado e todos os termos com
do outro — isto é a técnica de separação de variáveis. Fazer isso significa manipular a equação algebricamente para obter algo do tipo
.
A equação é
Multiplicando ambos os lados por
(assumindo
localmente), obtemos
Aqui isolamos as variáveis: tudo em
do lado esquerdo e tudo em
do lado direito.
Passo 3
Agora integramos os dois lados. Lembrete rápido sobre integrais indefinidas: se
, então
, onde
é a constante de integração.
Aplicando isso a
e
temos
As integrais são básicas:
Igualando (pode juntar as constantes em uma só) chega-se a
onde
é a constante de integração geral.
Passo 4
Multiplicando tudo por
e rearranjando, obtemos a forma implícita mais simples da solução:
onde
é uma constante arbitrária real. Esta é a família de curvas do tipo círculo centrado na origem com raio
(quando
).
Podemos também escrever a solução de forma explícita, isolando
:
Aqui a escolha do sinal
e o domínio (valores de
permitidos) dependem da condição inicial ou da parte do ramo da curva que a solução precisa cobrir. Para que a raiz seja real é necessário
, ou seja
.
Passo 5
Comentários importantes que costumam cair na prova:
- Não existe solução contínua com
para toda a reta, porque se então o lado direito não está definido. Portanto não é solução global. - A função
não é Lipschitz em pontos com , por isso condições iniciais com precisam de cuidado: a existência/unicidade clássica pode falhar ali. - Geometricamente, as soluções são arcos de círculos centrados na origem. Se for dada uma condição inicial
com , a constante é e a solução passa pelo ponto dado.
Passo 6
Exemplo numérico rápido para fixar: se a constante for
, então as soluções são
que são os semicírculos de raio
. Cada solução válida é um ramo (o superior com
ou o inferior com
) com domínio
.