Resolva a EDO \frac{d y}{d x}=-\frac{x}{y}.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}
e pede resolver essa EDO (obter a solução geral y(x)). Informações relevantes fornecidas:
  • A incógnita é a função y de x.
  • A equação relaciona a derivada \dfrac{dy}{dx} com x e y.
  • Não foi dado valor inicial; portanto buscamos a solução geral com constante de integração.

Passo 2

Vamos rearranjar a equação para colocar todos os termos com y de um lado e todos os termos com x do outro — isto é a técnica de separação de variáveis. Fazer isso significa manipular a equação algebricamente para obter algo do tipo g(y)\,dy = h(x)\,dx.
A equação é
\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}.
Multiplicando ambos os lados por y\,dx (assumindo y\neq0 localmente), obtemos
y\,dy = -x\,dx.
Aqui isolamos as variáveis: tudo em y do lado esquerdo e tudo em x do lado direito.

Passo 3

Agora integramos os dois lados. Lembrete rápido sobre integrais indefinidas: se \dfrac{d}{du}F(u)=f(u), então \int f(u)\,du=F(u)+C, onde C é a constante de integração.
Aplicando isso a \int y\,dy e \int -x\,dx temos
\int y\,dy = \int -x\,dx.
As integrais são básicas:
\int y\,dy = \frac{1}{2}y^2 + C_1, \qquad \int -x\,dx = -\frac{1}{2}x^2 + C_2.
Igualando (pode juntar as constantes em uma só) chega-se a
\frac{1}{2}y^2 = -\frac{1}{2}x^2 + C,
onde C = C_2 - C_1 é a constante de integração geral.

Passo 4

Multiplicando tudo por 2 e rearranjando, obtemos a forma implícita mais simples da solução:
y^2 + x^2 = K,
onde K = 2C é uma constante arbitrária real. Esta é a família de curvas do tipo círculo centrado na origem com raio \sqrt{K} (quando K>0).
Podemos também escrever a solução de forma explícita, isolando y:
y = \pm\sqrt{K - x^2}.
Aqui a escolha do sinal \pm e o domínio (valores de x permitidos) dependem da condição inicial ou da parte do ramo da curva que a solução precisa cobrir. Para que a raiz seja real é necessário K - x^2 \ge 0, ou seja |x|\le\sqrt{K}.

Passo 5

Comentários importantes que costumam cair na prova:
  • Não existe solução contínua com y\equiv0 para toda a reta, porque se y=0 então o lado direito -x/y não está definido. Portanto y\equiv0 não é solução global.
  • A função f(x,y)=-x/y não é Lipschitz em pontos com y=0, por isso condições iniciais com y( x_0)=0 precisam de cuidado: a existência/unicidade clássica pode falhar ali.
  • Geometricamente, as soluções são arcos de círculos centrados na origem. Se for dada uma condição inicial (x_0,y_0) com y_0\neq0, a constante K é K=x_0^2+y_0^2 e a solução passa pelo ponto dado.

Passo 6

Exemplo numérico rápido para fixar: se a constante for K=1, então as soluções são
y = \pm\sqrt{1 - x^2},
que são os semicírculos de raio 1. Cada solução válida é um ramo (o superior com + ou o inferior com -) com domínio |x|\le1.

Resposta

y^2 + x^2 = K
y = \pm\sqrt{K - x^2}

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