Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial com condição inicial:
- Equação:
. - Condição inicial:
.
O que o problema pede: encontrar a solução
que satisfaz a equação diferencial e a condição inicial dada.
Informações importantes extraídas do enunciado:
- A expressão do lado direito está bem definida sempre que
. - No ponto inicial
temos , portanto . Logo a equação não é singular no ponto inicial.
Passo 2
Método: tentar separar variáveis (ou seja, escrever todos os termos com
multiplicando
e todos os termos com
multiplicando
).
A equação pode ser reescrita como
Multiplicando ambos os lados por
e por
obtemos a forma separada:
Aqui a ideia é clara: integrar cada lado em sua variável.
Passo 3
Integrar ambos os lados. Vou explicar cada integral com calma.
Integral do lado esquerdo:
-
. -
.
Portanto
Integral do lado direito:
-
. -
.
Portanto
Passo 4
Igualando as duas primitivas (podemos juntar as constantes numa única constante
):
Agora aplicamos a condição inicial
para determinar
. Substituindo
e
:
Isso dá
Logo a solução implícita particular é
Passo 5
Se for conveniente obter a solução explícita
, resolvemos a equação quadrática em
:
Aplicando a fórmula de Bhaskara para
com
,
,
, o discriminante é
Simplificando:
Portanto
Passo 6
Escolher o sinal correto (ramificação) usando a condição inicial. Em
o discriminante vale
logo
. As duas raízes em
são
Como a condição inicial exige
, devemos escolher o sinal menos. Assim a solução explícita que satisfaz a condição inicial é
Observações finais rápidas (importantes para a prova):
- A solução é válida localmente onde o radicando
é não-negativo, garantindo número real dentro da raiz, e onde . No ponto inicial isso está ok. - A escolha do ramo da raiz é feita usando a condição inicial, como mostrei. Em provas, sempre verifique o valor em
inicial para selecionar o sinal correto.