y^{\prime}=\frac{3 x^{2}-e^{x}}{2 y-5} y(0)=1

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial com condição inicial:
  • Equação: y'=\dfrac{3x^{2}-e^{x}}{2y-5}.
  • Condição inicial: y(0)=1.
O que o problema pede: encontrar a solução y(x) que satisfaz a equação diferencial e a condição inicial dada.
Informações importantes extraídas do enunciado:
  • A expressão do lado direito está bem definida sempre que 2y-5\neq 0.
  • No ponto inicial x=0 temos y(0)=1, portanto 2y(0)-5=2\cdot1-5=-3\neq 0. Logo a equação não é singular no ponto inicial.

Passo 2

Método: tentar separar variáveis (ou seja, escrever todos os termos com y multiplicando dy e todos os termos com x multiplicando dx).
A equação pode ser reescrita como
\frac{dy}{dx}=\frac{3x^{2}-e^{x}}{2y-5}.
Multiplicando ambos os lados por 2y-5 e por dx obtemos a forma separada:
(2y-5)\,dy=(3x^{2}-e^{x})\,dx.
Aqui a ideia é clara: integrar cada lado em sua variável.

Passo 3

Integrar ambos os lados. Vou explicar cada integral com calma.
Integral do lado esquerdo:
\int (2y-5)\,dy=\int 2y\,dy-\int 5\,dy.
  • \int 2y\,dy = 2\cdot\frac{y^{2}}{2}=y^{2}.
  • \int 5\,dy = 5y.
Portanto
\int (2y-5)\,dy = y^{2}-5y + C_{1}.
Integral do lado direito:
\int (3x^{2}-e^{x})\,dx=\int 3x^{2}\,dx - \int e^{x}\,dx.
  • \int 3x^{2}\,dx = 3\cdot\frac{x^{3}}{3}=x^{3}.
  • \int e^{x}\,dx = e^{x}.
Portanto
\int (3x^{2}-e^{x})\,dx = x^{3}-e^{x} + C_{2}.

Passo 4

Igualando as duas primitivas (podemos juntar as constantes numa única constante C):
y^{2}-5y = x^{3}-e^{x} + C.
Agora aplicamos a condição inicial y(0)=1 para determinar C. Substituindo x=0 e y=1:
1^{2}-5\cdot1 = 0^{3}-e^{0} + C \quad\Rightarrow\quad 1-5 = 0-1 + C.
Isso dá
-4 = -1 + C \quad\Rightarrow\quad C = -3.
Logo a solução implícita particular é
y^{2}-5y = x^{3}-e^{x}-3.

Passo 5

Se for conveniente obter a solução explícita y(x), resolvemos a equação quadrática em y:
y^{2}-5y -\bigl(x^{3}-e^{x}-3\bigr)=0.
Aplicando a fórmula de Bhaskara para ay^{2}+by+c=0 com a=1, b=-5, c=-(x^{3}-e^{x}-3), o discriminante é
\Delta = (-5)^{2}-4\cdot1\cdot\bigl-(x^{3}-e^{x}-3)\bigr = 25 + 4\bigl(x^{3}-e^{x}-3\bigr).
Simplificando:
\Delta = 13 + 4x^{3} - 4e^{x}.
Portanto
y(x)=\frac{5 \pm \sqrt{13 + 4x^{3} - 4e^{x}}}{2}.

Passo 6

Escolher o sinal correto (ramificação) usando a condição inicial. Em x=0 o discriminante vale
\Delta(0)=13 + 0 - 4e^{0}=13-4=9,
logo \sqrt{\Delta(0)}=3. As duas raízes em x=0 são
y(0)=\frac{5\pm 3}{2} \in\left\{\frac{8}{2}=4,\\ \frac{2}{2}=1\right\}.
Como a condição inicial exige y(0)=1, devemos escolher o sinal menos. Assim a solução explícita que satisfaz a condição inicial é
y(x)=\frac{5 - \sqrt{13 + 4x^{3} - 4e^{x}}}{2}.
Observações finais rápidas (importantes para a prova):
  • A solução é válida localmente onde o radicando 13 + 4x^{3} - 4e^{x} é não-negativo, garantindo número real dentro da raiz, e onde 2y-5\neq 0. No ponto inicial isso está ok.
  • A escolha do ramo da raiz é feita usando a condição inicial, como mostrei. Em provas, sempre verifique o valor em x inicial para selecionar o sinal correto.

Resposta

y(x)=\dfrac{5 - \sqrt{13 + 4x^{3} - 4e^{x}}}{2}

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