Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial com condição inicial:
O que se pede: encontrar a função
que satisfaz essa equação diferencial e a condição inicial.
Passo 2
Primeiro escrevemos a derivada de forma explícita e reorganizamos a equação. Lembre que
. Então:
Somando
em ambos os lados obtemos
Aqui temos todos os termos envolvendo
multiplicando
e todos os termos envolvendo
do outro lado — isso sugere que a equação é separável. Separar variáveis significa escrever os
-dependentes com
e os
-dependentes com
.
Passo 3
Separando as variáveis, colocamos os fatores que dependem de
junto de
e os que dependem de
junto de
:
Agora integramos os dois lados. Recorde que a integral de
em relação a
é
, porque
. Assim:
onde
é a constante de integração.
Passo 4
Usamos a condição inicial
para determinar
. Substituindo
e
na expressão
:
Como
, segue que
Portanto a relação entre
e
é
Passo 5
Isolando
aplicando a função tangente (inversa da arctangente no intervalo apropriado), obtemos a solução explícita:
Podemos verificar rapidamente: derivando essa expressão usando a regra da cadeia,
que coincide com a forma reorganizada da equação diferencial, então está correto.
Passo 6
Comentário sobre domínio (importante para provas): a função
tem descontinuidades quando seu argumento é
. No nosso caso o argumento é
. A primeira singularidade à direita de
ocorre quando
o que dá
Portanto a solução dada é válida, pelo menos, no intervalo maximal que contém
:
Passo 7
Dica prática para a prova (resumão amigo): ao ver uma equação do tipo
,
- tente separar:
; - integre ambos os lados;
- aplique a condição inicial para fixar a constante;
- isole
.
Exemplo rápido extra: seentão , integra-se para , etc. Isso treina a técnica de separação.