y^{\prime}-x y^{2}=x \operatorname{com} y(0)=1

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial com condição inicial:
y' - x y^{2} = x, \qquad y(0)=1.
O que se pede: encontrar a função y(x) que satisfaz essa equação diferencial e a condição inicial.

Passo 2

Primeiro escrevemos a derivada de forma explícita e reorganizamos a equação. Lembre que y'=\dfrac{dy}{dx}. Então:
\frac{dy}{dx}-x y^{2}=x.
Somando x y^{2} em ambos os lados obtemos
\frac{dy}{dx}=x\bigl(y^{2}+1\bigr).
Aqui temos todos os termos envolvendo y multiplicando dy/dx e todos os termos envolvendo x do outro lado — isso sugere que a equação é separável. Separar variáveis significa escrever os y-dependentes com dy e os x-dependentes com dx.

Passo 3

Separando as variáveis, colocamos os fatores que dependem de y junto de dy e os que dependem de x junto de dx:
\frac{dy}{1+y^{2}}=x\,dx.
Agora integramos os dois lados. Recorde que a integral de \dfrac{1}{1+y^{2}} em relação a y é \arctan y, porque \dfrac{d}{dy}\bigl(\arctan y\bigr)=\dfrac{1}{1+y^{2}}. Assim:
\int \frac{dy}{1+y^{2}}=\int x\,dx
\arctan y=\frac{x^{2}}{2}+C,
onde C é a constante de integração.

Passo 4

Usamos a condição inicial y(0)=1 para determinar C. Substituindo x=0 e y(0)=1 na expressão \arctan y=\dfrac{x^{2}}{2}+C:
\arctan(1)=\frac{0^{2}}{2}+C.
Como \arctan(1)=\dfrac{\pi}{4}, segue que
C=\frac{\pi}{4}.
Portanto a relação entre y e x é
\arctan y=\frac{x^{2}}{2}+\frac{\pi}{4}.

Passo 5

Isolando y aplicando a função tangente (inversa da arctangente no intervalo apropriado), obtemos a solução explícita:
y(x)=\tan\!\left(\frac{x^{2}}{2}+\frac{\pi}{4}\right).
Podemos verificar rapidamente: derivando essa expressão usando a regra da cadeia,
\frac{dy}{dx}=\operatorname{sec}^{2}\!\left(\frac{x^{2}}{2}+\frac{\pi}{4}\right)\cdot x = x\bigl(1+\tan^{2}\!\left(\frac{x^{2}}{2}+\frac{\pi}{4}\right)\bigr) = x\bigl(1+y^{2}\bigr),
que coincide com a forma reorganizada da equação diferencial, então está correto.

Passo 6

Comentário sobre domínio (importante para provas): a função \tan tem descontinuidades quando seu argumento é \dfrac{\pi}{2}+k\pi. No nosso caso o argumento é \dfrac{x^{2}}{2}+\dfrac{\pi}{4}. A primeira singularidade à direita de x=0 ocorre quando
\frac{x^{2}}{2}+\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{2}
o que dá
x^{2}=\frac{\pi}{2}\quad\Rightarrow\quad x=\pm\sqrt{\frac{\pi}{2}}.
Portanto a solução dada é válida, pelo menos, no intervalo maximal que contém 0:
\left(-\sqrt{\tfrac{\pi}{2}},\;\sqrt{\tfrac{\pi}{2}}\right).

Passo 7

Dica prática para a prova (resumão amigo): ao ver uma equação do tipo \dfrac{dy}{dx}=g(x)\,h(y),
  1. tente separar: \dfrac{dy}{h(y)}=g(x)\,dx;
  2. integre ambos os lados;
  3. aplique a condição inicial para fixar a constante;
  4. isole y.
    Exemplo rápido extra: se \dfrac{dy}{dx}=2x(1+y^{2}) então \dfrac{dy}{1+y^{2}}=2x\,dx, integra-se para \arctan y=x^{2}+C, etc. Isso treina a técnica de separação.

Resposta

\displaystyle y(x)=\tan\!\left(\frac{x^{2}}{2}+\frac{\pi}{4}\right)

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