y^{\prime}+(1 / t) y=3 \cos 2 t, \quad t>0

Passo 1

O enunciado fornece a equação diferencial
y'(t)+\frac{1}{t}y(t)=3\cos(2t),\qquad t>0,
e pede a solução geral y(t) definida para t>0.
Informações dadas: a equação é de primeira ordem e linear em y; o coeficiente de y é 1/t e o termo não-homogêneo é 3\cos(2t).
O objetivo é encontrar a solução geral y(t) (contendo a constante arbitrária).

Passo 2

Reescrevendo em forma padrão para equações lineares de primeira ordem:
y' + p(t)y = g(t),
onde aqui p(t)=\dfrac{1}{t} e g(t)=3\cos(2t).
Explicação do método (breve e intuitiva): para resolver uma equação linear como essa usa-se um fator integrante \mu(t) tal que, ao multiplicar toda a equação por \mu(t), o lado esquerdo vire a derivada de \mu(t)y(t). O fator integrante é dado por
\mu(t)=\exp\!\Big(\int p(t)\,dt\Big).
Aqui p(t)=1/t, então vamos calcular \mu(t).

Passo 3

Calcular o fator integrante:
\mu(t)=\exp\!\Big(\int \frac{1}{t}\,dt\Big)=\exp(\ln t)=t,
já que t>0 permite simplificar \exp(\ln t)=t.
Observação do porquê funcionar: \mu'(t)=1=\mu(t)\cdot p(t), logo
(\mu y)'=\mu y'+\mu'y=\mu\big(y'+p(t)y\big),
ou seja multiplicar pela \mu transforma o lado esquerdo numa derivada exata.

Passo 4

Multiplicando a equação original por \mu(t)=t obtemos
t\,y' + y = 3t\cos(2t).
Repare que o lado esquerdo é exatamente a derivada de t y:
(t y)' = t y' + y.
Portanto a equação fica
(t y) ' = 3t\cos(2t).

Passo 5

Integrar ambos os lados em relação a t:
t y = \int 3t\cos(2t)\,dt + C,
onde C é a constante de integração. Agora calculamos a integral \int 3t\cos(2t)\,dt passo a passo.
Calcular \int t\cos(2t)\,dt por partes. Seja u=t e dv=\cos(2t)\,dt. Então du=dt e v=\dfrac{1}{2}\sin(2t). Pela fórmula de integração por partes \int u\,dv = uv - \int v\,du:
\int t\cos(2t)\,dt = t\cdot\frac{1}{2}\sin(2t) - \int \frac{1}{2}\sin(2t)\,dt.
Agora \int \sin(2t)\,dt = -\dfrac{1}{2}\cos(2t). Assim
\int t\cos(2t)\,dt = \frac{1}{2}t\sin(2t) - \frac{1}{2}\left(-\frac{1}{2}\cos(2t)\right) = \frac{1}{2}t\sin(2t) + \frac{1}{4}\cos(2t).
Multiplicando por 3 (porque precisávamos de \int 3t\cos(2t)\,dt):
\int 3t\cos(2t)\,dt = \frac{3}{2}t\sin(2t) + \frac{3}{4}\cos(2t).

Passo 6

Substituindo na expressão para t y:
t y = \frac{3}{2}t\sin(2t) + \frac{3}{4}\cos(2t) + C.
Agora isolamos y dividindo por t (lembre que t>0, então isso é válido):
y(t) = \frac{3}{2}\sin(2t) + \frac{3}{4}\frac{\cos(2t)}{t} + \frac{C}{t}.
Explicação do termo com C: a constante C representa a família de soluções da equação diferencial linear; ao dividir por t ela aparece como \dfrac{C}{t}.

Passo 7

Verificação rápida (confirmação sem cálculos longos): multiplicando por t temos t y = \dfrac{3}{2}t\sin(2t)+\dfrac{3}{4}\cos(2t)+C. Derivando isso:
(t y)' = \frac{3}{2}\sin(2t) + 3t\cos(2t) - \frac{3}{2}\sin(2t) = 3t\cos(2t),
onde os termos em \sin(2t) se cancelam, sobrando 3t\cos(2t) que é o lado direito que queríamos. Portanto a solução está correta.

Resposta

y(t)=\frac{3}{2}\sin(2t)+\frac{3}{4}\frac{\cos(2t)}{t}+\frac{C}{t},\qquad t>0,

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