Passo 1
O enunciado fornece a equação diferencial
e pede a solução geral
definida para
.
Informações dadas: a equação é de primeira ordem e linear em ; o coeficiente de
é
e o termo não-homogêneo é
.
O objetivo é encontrar a solução geral (contendo a constante arbitrária).
Informações dadas: a equação é de primeira ordem e linear em
O objetivo é encontrar a solução geral
Passo 2
Reescrevendo em forma padrão para equações lineares de primeira ordem:
onde aqui
e
.
Explicação do método (breve e intuitiva): para resolver uma equação linear como essa usa-se um fator integrante tal que, ao multiplicar toda a equação por
, o lado esquerdo vire a derivada de
. O fator integrante é dado por
Explicação do método (breve e intuitiva): para resolver uma equação linear como essa usa-se um fator integrante
Aqui
, então vamos calcular
.
Passo 3
Calcular o fator integrante:
já que
permite simplificar
.
Observação do porquê funcionar: , logo
Observação do porquê funcionar:
ou seja multiplicar pela
transforma o lado esquerdo numa derivada exata.
Passo 4
Multiplicando a equação original por
obtemos
Repare que o lado esquerdo é exatamente a derivada de
:
Portanto a equação fica
Passo 5
Integrar ambos os lados em relação a
:
onde
é a constante de integração. Agora calculamos a integral
passo a passo.
Calcular
por partes. Seja
e
. Então
e
. Pela fórmula de integração por partes
:
Agora
. Assim
Multiplicando por
(porque precisávamos de
):
Passo 6
Substituindo na expressão para
:
Agora isolamos
dividindo por
(lembre que
, então isso é válido):
Explicação do termo com
: a constante
representa a família de soluções da equação diferencial linear; ao dividir por
ela aparece como
.
Passo 7
Verificação rápida (confirmação sem cálculos longos): multiplicando por
temos
. Derivando isso:
onde os termos em
se cancelam, sobrando
que é o lado direito que queríamos. Portanto a solução está correta.