Questão
: Considerando a função
:
a) Escreva a equação do plano tangente ao gráfico de
em
.
b) Utilizando a equação do plano tangente, encontre um favor aproximado para
.
a) Escreva a equação do plano tangente ao gráfico de
b) Utilizando a equação do plano tangente, encontre um favor aproximado para
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- (a) Escrever a equação do plano tangente ao gráfico da função
no ponto . - (b) Usar essa equação para obter um valor aproximado de
.
Informações dadas:
- A função é
. - O ponto onde se pede o plano tangente é
. - O ponto em que se quer a aproximação é
.
Passo 2
O que é o plano tangente e como ele serve para aproximar?
- Para uma função de duas variáveis
diferenciável em , a linearização (ou plano tangente) é a aproximação de primeira ordem
onde
e
são as derivadas parciais de
.
- Aqui:
, . O plano tangente será .
Explicando as derivadas parciais de maneira clara: são as taxas de variação dequando só uma variável varia, mantendo a outra fixa. Para calcular as parciais de usamos a regra da cadeia.
Passo 3
Calcular as derivadas parciais gerais com passos:
- Escreve-se
. Aplicando a regra da cadeia:
Aqui cada expressão significa:
é a derivada de
em relação a
mantendo
fixo;
é análoga para
.
Agora avaliar em
.
- Primeiro
. - Em seguida
Passo 4
Construir a equação do plano tangente usando a fórmula da linearização:
Substituindo os valores já calculados:
Podemos simplificar essa expressão: calcular a constante adicional
Portanto a forma simplificada do plano é
(A forma deslocada e a forma simplificada são equivalentes; ambas representam o plano tangente.)
Passo 5
Usar o plano tangente para aproximar
. A ideia:
quando
está perto de
.
Calcular os deslocamentos:
Usar a forma linearizada:
Substituindo os valores:
Fazendo as contas passo a passo:
Somando:
Portanto a aproximação pelo plano tangente é
(valor aproximado).