Questão 5(2,5) : Considerando a função f(x, y)=\sqrt{x^{2}+y^{2}} :
a) Escreva a equação do plano tangente ao gráfico de f(x, y) em P_{o}(3,4).
b) Utilizando a equação do plano tangente, encontre um favor aproximado para f(2,97 ; 4,02).

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • (a) Escrever a equação do plano tangente ao gráfico da função \,f(x,y)=\sqrt{x^{2}+y^{2}}\, no ponto P_{0}(3,4).
  • (b) Usar essa equação para obter um valor aproximado de f(2,97;4,02).
Informações dadas:
  • A função é \,f(x,y)=\sqrt{x^{2}+y^{2}}\,.
  • O ponto onde se pede o plano tangente é P_{0}=(3,4).
  • O ponto em que se quer a aproximação é (x,y)=(2,97,\,4,02).

Passo 2

O que é o plano tangente e como ele serve para aproximar?
  • Para uma função de duas variáveis \,f(x,y) diferenciável em (a,b), a linearização (ou plano tangente) é a aproximação de primeira ordem
L(x,y)=f(a,b)+f_{x}(a,b)\,(x-a)+f_{y}(a,b)\,(y-b),
onde \,f_{x} e \,f_{y} são as derivadas parciais de f.
  • Aqui: a=3, b=4. O plano tangente será z=L(x,y).
    Explicando as derivadas parciais de maneira clara: são as taxas de variação de f quando só uma variável varia, mantendo a outra fixa. Para calcular as parciais de \,f(x,y)=\sqrt{x^{2}+y^{2}}\, usamos a regra da cadeia.

Passo 3

Calcular as derivadas parciais gerais com passos:
  • Escreve-se f(x,y)=(x^{2}+y^{2})^{1/2}. Aplicando a regra da cadeia:
f_{x}(x,y)=\frac{1}{2}(x^{2}+y^{2})^{-1/2}\cdot 2x=\frac{x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}.
f_{y}(x,y)=\frac{1}{2}(x^{2}+y^{2})^{-1/2}\cdot 2y=\frac{y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}.
Aqui cada expressão significa: f_{x} é a derivada de f em relação a x mantendo y fixo; f_{y} é análoga para y.
Agora avaliar em P_{0}=(3,4).
  • Primeiro f(3,4)=\sqrt{3^{2}+4^{2}}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5.
  • Em seguida
f_{x}(3,4)=\frac{3}{\sqrt{3^{2}+4^{2}}}=\frac{3}{5}=\frac{3}{5},
f_{y}(3,4)=\frac{4}{\sqrt{3^{2}+4^{2}}}=\frac{4}{5}=\frac{4}{5}.

Passo 4

Construir a equação do plano tangente usando a fórmula da linearização:
z=L(x,y)=f(3,4)+f_{x}(3,4)(x-3)+f_{y}(3,4)(y-4).
Substituindo os valores já calculados:
z=5+\frac{3}{5}(x-3)+\frac{4}{5}(y-4).
Podemos simplificar essa expressão: calcular a constante adicional
5-\frac{3}{5}\cdot 3-\frac{4}{5}\cdot 4 =5-\frac{9}{5}-\frac{16}{5} =5-\frac{25}{5}=5-5=0.
Portanto a forma simplificada do plano é
z=\frac{3}{5}x+\frac{4}{5}y.
(A forma deslocada e a forma simplificada são equivalentes; ambas representam o plano tangente.)

Passo 5

Usar o plano tangente para aproximar f(2,97;4,02). A ideia: f(x,y)\approx L(x,y) quando (x,y) está perto de (3,4).
Calcular os deslocamentos:
\Delta x=2,97-3=-0,03,\qquad \Delta y=4,02-4=0,02.
Usar a forma linearizada:
L(2,97,4,02)=5+\frac{3}{5}\Delta x+\frac{4}{5}\Delta y.
Substituindo os valores:
L(2,97,4,02)=5+\frac{3}{5}(-0,03)+\frac{4}{5}(0,02).
Fazendo as contas passo a passo:
\frac{3}{5}(-0,03)=-\frac{0,09}{5}=-0,018,
\frac{4}{5}(0,02)=\frac{0,08}{5}=0,016.
Somando:
L(2,97,4,02)=5-0,018+0,016=5-0,002=4,998.
Portanto a aproximação pelo plano tangente é \,4,998 (valor aproximado).

Resposta

z=5+\dfrac{3}{5}(x-3)+\dfrac{4}{5}(y-4) \
f(2,97;4,02)\approx 4,998

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