y'' = y'

Passo 1

Beleza! Vamos resolver a equação diferencial . Isso faz parte do estudo de Equações Diferenciais Ordinárias (EDO), especificamente de equações lineares de segunda ordem. Para resolver, vamos precisar entender como integrar derivações múltiplas. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para facilitar a visualização:
Isso significa que a segunda derivada de é igual à primeira derivada de .

Passo 3

Vamos simplificar a equação. Podemos mover tudo para um lado:
Agora, temos uma equação homogênea. Isso facilita encontrar a solução geral.

Passo 4

Vamos resolver essa equação característica. Assumimos que a solução tem a forma , onde é uma constante. Calculando as derivadas:
Substituindo na equação original:
Como nunca é zero, temos:

Passo 5

Resolvendo a equação característica:
Então, temos duas soluções lineares independentes:

Passo 6

A solução geral da equação diferencial é uma combinação linear das soluções encontradas:
Onde e são constantes que serão determinadas por condições iniciais, se forem fornecidas.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

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