y'' = -y

Passo 1

Beleza, temos a equação diferencial . Isso faz parte da matéria de Equações Diferenciais, especificamente das equações lineares de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar usar a equação característica e trigonometria básica.

Passo 2

Primeiro, vamos transformar a equação diferencial em uma equação algébrica usando a equação característica. Substituímos por e por 1, ficando:

Passo 3

Agora, resolvemos a equação característica . Subtraindo 1 de ambos os lados:
Então, tiramos a raiz quadrada:
Aqui, é a unidade imaginária.

Passo 4

Quando as raízes da equação característica são complexas, da forma , a solução geral da equação diferencial é:
No nosso caso, e , então a solução simplifica para:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

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