y^{\prime \prime}-y^{\prime}=e^{t} \cos t, \quad y(0)=0, \quad y^{\prime}(0)=0

Passo 1

O enunciado fornece a equação diferencial e as condições iniciais:
y^{\prime\prime}-y^{\prime}=e^{t}\cos t,\qquad y(0)=0,\qquad y^{\prime}(0)=0.
O que se pede: encontrar a função y(t) que satisfaz a equação diferencial e as condições iniciais dadas.

Passo 2

Primeiro resolvemos a equação homogênea associada (ou seja, com o lado direito igual a zero):
y^{\prime\prime}-y^{\prime}=0.
Para equações lineares com coeficientes constantes usamos a equação característica. Substituímos y=e^{rt} e obtemos a equação polinomial
r^{2}-r=0.
Resolvendo:
r(r-1)=0\quad\Rightarrow\quad r=0\\ \text{ou}\\ r=1.
Como as raízes são reais e distintas, a solução geral da homogênea é
y_{h}(t)=C_{1}+C_{2}e^{t},
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias. Explicando rapidinho o porquê: cada raiz r dá uma solução e^{rt}, e combinamos linearmente porque a equação é linear e homogênea.

Passo 3

Agora precisamos de uma solução particular y_{p} da equação completa
y^{\prime\prime}-y^{\prime}=e^{t}\cos t.
Vou usar o método dos coeficientes a determinar (método dos palpites). A ideia é escolher um palpite para y_{p} com a mesma forma do lado direito. O lado direito é e^{t}\cos t, que é do tipo e^{\alpha t}\cos(\beta t) com \alpha=1, \beta=1. O palpite padrão é
y_{p}(t)=e^{t}\big(A\cos t + B\sin t\big),
onde A e B são constantes a determinar. Antes de usar esse palpite preciso verificar ressonância: deve-se checar se r=\alpha\pm i\beta=1\pm i é raiz da equação característica. Como a característica tem raízes 0 e 1, 1\pm i não são raízes, logo não há ressonância e o palpite acima é adequado.

Passo 4

Agora calculamos y_{p}^{\prime} e y_{p}^{\prime\prime}. Começando por
y_{p}(t)=e^{t}\big(A\cos t + B\sin t\big).
Usando a regra do produto e as derivadas \dfrac{d}{dt}\cos t=-\sin t, \dfrac{d}{dt}\sin t=\cos t, obtemos:
y_{p}^{\prime}(t)=e^{t}\big(A\cos t + B\sin t\big)+e^{t}\big(-A\sin t + B\cos t\big).
Agrupando termos em \cos t e \sin t:
y_{p}^{\prime}(t)=e^{t}\big((A+B)\cos t + (B-A)\sin t\big).
Derivando novamente (produto outra vez):
a derivada do fator e^{t} multiplica o mesmo colchete, e somamos e^{t} vezes a derivada do colchete:
y_{p}^{\prime\prime}(t)=e^{t}\big((A+B)\cos t + (B-A)\sin t\big) +e^{t}\big((B-A)\cos t - (A+B)\sin t\big).
Somando as expressões e agrupando:
y_{p}^{\prime\prime}(t)=e^{t}\big(2B\cos t -2A\sin t\big).

Passo 5

Substituímos y_{p},y_{p}^{\prime},y_{p}^{\prime\prime}\) no lado esquerdo da equação \(y^{\prime\prime}-y^{\prime}\) e igualamos ao lado direito: \[y_{p}^{\prime\prime}-y_{p}^{\prime} = e^{t}\big(2B\cos t -2A\sin t\big) - e^{t}\big((A+B)\cos t + (B-A)\sin t\big).
Fatorando e^{t} e somando coeficientes:
y_{p}^{\prime\prime}-y_{p}^{\prime}=e^{t}\big((B-A)\cos t + (-A-B)\sin t\big).
Essa expressão deve ser igual a e^{t}\cos t. Assim, igualando coeficientes de \cos t e \sin t:
\begin{cases} B-A=1,\\[4pt] - A - B=0. \end{cases}
Da segunda equação vem A=-B\]. Substituindo na primeira: \[B-(-B)=1\quad\Rightarrow\quad 2B=1\quad\Rightarrow\quad B=\tfrac{1}{2}.\] Então \(A=-\tfrac{1}{2}. Portanto a solução particular é
y_{p}(t)=e^{t}\Big(-\tfrac{1}{2}\cos t + \tfrac{1}{2}\sin t\Big) =\tfrac{1}{2}e^{t}\big(\sin t - \cos t\big).]

Passo 6

A solução geral da equação completa é a soma da homogênea com a particular:
y(t)=y_{h}(t)+y_{p}(t)=C_{1}+C_{2}e^{t}+\tfrac{1}{2}e^{t}\big(\sin t - \cos t\big).
Para aplicar as condições iniciais precisamos também de y^{\prime}(t). Derivando a expressão geral: a derivada de C_{1} é zero, a de C_{2}e^{t} é C_{2}e^{t}, e já calculamos antes (ou podemos reutilizar a fórmula com A=-\tfrac{1}{2},B=\tfrac{1}{2}) que, para esses A,B,
y_{p}^{\prime}(t)=e^{t}\sin t.
Logo
y^{\prime}(t)=C_{2}e^{t}+e^{t}\sin t=e^{t}\big(C_{2}+\sin t\big).

Passo 7

Aplicamos as condições iniciais. Primeiro y(0)=0. Como \sin 0=0, \cos 0=1 e e^{0}=1, temos
y(0)=C_{1}+C_{2}+\tfrac{1}{2}(0-1)=C_{1}+C_{2}-\tfrac{1}{2}=0,
portanto
C_{1}+C_{2}=\tfrac{1}{2}.
Agora y^{\prime}(0)=0. Avaliando y^{\prime}(t) em t=0:
y^{\prime}(0)=e^{0}\big(C_{2}+\sin 0\big)=C_{2}+0=C_{2}=0.
Com C_{2}=0 obtemos C_{1}=\tfrac{1}{2}.

Passo 8

Substituindo C_{1}=\tfrac{1}{2} e C_{2}=0 na solução geral, a solução final que satisfaz as condições iniciais é
y(t)=\tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{2}e^{t}\big(\sin t - \cos t\big).
Uma checagem rápida: em t=0 temos y(0)=\tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{2}(0-1)=0 e y^{\prime}(0)=0, como exigido.

Resposta

y(t)=\tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{2}e^{t}\big(\sin t - \cos t\big)

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