Passo 1
O enunciado fornece a equação diferencial e as condições iniciais:
O que se pede: encontrar a função
que satisfaz a equação diferencial e as condições iniciais dadas.
Passo 2
Primeiro resolvemos a equação homogênea associada (ou seja, com o lado direito igual a zero):
Para equações lineares com coeficientes constantes usamos a equação característica. Substituímos
e obtemos a equação polinomial
Resolvendo:
Como as raízes são reais e distintas, a solução geral da homogênea é
onde
e
são constantes arbitrárias. Explicando rapidinho o porquê: cada raiz
dá uma solução
, e combinamos linearmente porque a equação é linear e homogênea.
Passo 3
Agora precisamos de uma solução particular
da equação completa
Vou usar o método dos coeficientes a determinar (método dos palpites). A ideia é escolher um palpite para
com a mesma forma do lado direito. O lado direito é
, que é do tipo
com
,
. O palpite padrão é
onde
e
são constantes a determinar. Antes de usar esse palpite preciso verificar ressonância: deve-se checar se
é raiz da equação característica. Como a característica tem raízes
e
,
não são raízes, logo não há ressonância e o palpite acima é adequado.
Passo 4
Agora calculamos
e
. Começando por
Usando a regra do produto e as derivadas
,
, obtemos:
Agrupando termos em
e
:
Derivando novamente (produto outra vez):
a derivada do fator multiplica o mesmo colchete, e somamos
vezes a derivada do colchete:
a derivada do fator
Somando as expressões e agrupando:
Passo 5
Substituímos
Fatorando
e somando coeficientes:
Essa expressão deve ser igual a
. Assim, igualando coeficientes de
e
:
Da segunda equação vem
. Portanto a solução particular é
Passo 6
A solução geral da equação completa é a soma da homogênea com a particular:
Para aplicar as condições iniciais precisamos também de
. Derivando a expressão geral: a derivada de
é zero, a de
é
, e já calculamos antes (ou podemos reutilizar a fórmula com
) que, para esses
,
Logo
Passo 7
Aplicamos as condições iniciais. Primeiro
. Como
,
e
, temos
portanto
Agora
. Avaliando
em
:
Com
obtemos
.
Passo 8
Substituindo
e
na solução geral, a solução final que satisfaz as condições iniciais é
Uma checagem rápida: em
temos
e
, como exigido.