Determine duas soluções em séries de potência da equação diferencial indicada ao redor do ponto ordinário x=0 :
y^{\prime \prime}-x y=0

Passo 1

O enunciado pede: determinar duas soluções em séries de potência da equação diferencial em torno de x=0:
y''-x\,y=0.
Informações dadas e o que se pede:
  • A equação é linear de segunda ordem com coeficientes analíticos em x=0.
  • Precisamos encontrar duas soluções independentes expressas como séries de potência centradas em x=0.
  • Não foi dada condição inicial; portanto vamos obter duas soluções fundamentais (uma correspondendo ao termo inicial a_0 livre e outra ao termo inicial a_1 livre).

Passo 2

Método: procurar uma solução em série de potência ao redor de x=0. Isso significa assumir
y(x)=\sum_{n=0}^{\infty}a_n x^n,
onde os a_n são constantes a determinar. Explico por que: como x=0 é ponto ordinário, a solução é analítica e pode ser escrita como série de potências. Vamos então obter y'' e substituir na equação.

Passo 3

Calcular y'' e escrever as séries com os mesmos expoentes para comparar termos.
y(x)=\sum_{n=0}^{\infty}a_n x^n, \qquad y''(x)=\sum_{n=2}^{\infty}n(n-1)a_n x^{n-2}.
Reescrevendo y'' com índice deslocado k=n-2 (para ter potências x^k):
y''(x)=\sum_{k=0}^{\infty}(k+2)(k+1)a_{k+2}x^{k}.
Também
-x\,y(x)=-\sum_{n=0}^{\infty}a_n x^{n+1}=-\sum_{k=1}^{\infty}a_{k-1}x^{k}.
Somando as duas séries e igualando a zero obtemos
\sum_{k=0}^{\infty}(k+2)(k+1)a_{k+2}x^{k}-\sum_{k=1}^{\infty}a_{k-1}x^{k}=0.

Passo 4

Agora igualamos coeficiente a coeficiente de cada potência x^k.
Para k=0: só aparece da primeira soma, logo
(2)(1)a_2=0\quad\Rightarrow\quad a_2=0.
Para k\ge1: os coeficientes somam zero, então
(k+2)(k+1)a_{k+2}-a_{k-1}=0,
ou seja a relação de recorrência
a_{k+2}=\frac{a_{k-1}}{(k+2)(k+1)},\qquad k\ge1.

Passo 5

Interpretação da recorrência: ela liga índices separados por 3 unidades (porque a_{k+2} depende de a_{k-1}). Isso gera três progressões de índices: \{a_0,a_3,a_6,\dots\}, \{a_1,a_4,a_7,\dots\} e \{a_2,a_5,a_8,\dots\}. Como a_2=0, a terceira progressão zera todos os termos a_{3m+2}=0 por indução:
  • a_2=0 e pela recorrência com k=3m+2 obtemos a_{3(m+1)+2} proporcional a a_{3m+2}=0. Logo toda a sequência a_{3m+2} é zero.
    Sobraram apenas duas sequências independentes, determinadas por a_0 e a_1. Assim teremos duas soluções fundamentais: uma com a_0 livre e a_1=0, outra com a_1 livre e a_0=0.

Passo 6

Construir a solução associada a a_0 (tomar a_1=0). Usando a recorrência para os índices múltiplos de 3:
para m\ge0 temos
a_{3(m+1)}=\frac{a_{3m}}{(3m+3)(3m+2)}.
Daí, por indução,
a_{3m}=\frac{a_0}{\displaystyle\prod_{j=1}^{m}\bigl(3j(3j-1)\bigr)}\quad (m\ge1),
com a_{0} livre e produto vazio para m=0 igual a 1. Assim a série correspondente (normalizando escolhendo a_0=1 para obter uma solução canônica) é
y_1(x)=\sum_{m=0}^{\infty}\frac{x^{3m}}{\displaystyle\prod_{j=1}^{m}\bigl(3j(3j-1)\bigr)} =1+\frac{1}{6}x^{3}+\frac{1}{180}x^{6}+\frac{1}{12960}x^{9}+\cdots.
Expliquei o primeiro termos: a_3= a_0/(3\cdot2)=1/6, a_6=a_3/(6\cdot5)=1/180, etc.

Passo 7

Construir a solução associada a a_1 (tomar a_0=0). Para os índices da forma 3m+1 a recorrência dá, para m\ge0,
a_{3(m+1)+1}=\frac{a_{3m+1}}{(3m+4)(3m+3)},
o que leva a fórmula por indução
a_{3m+1}=\frac{a_1}{\displaystyle\prod_{j=1}^{m}\bigl((3j+1)(3j)\bigr)}\quad (m\ge1),
com a_{1} livre e produto vazio para m=0. Normalizando com a_1=1 obtemos a segunda solução
y_2(x)=\sum_{m=0}^{\infty}\frac{x^{3m+1}}{\displaystyle\prod_{j=1}^{m}\bigl((3j+1)(3j)\bigr)} =x+\frac{1}{12}x^{4}+\frac{1}{504}x^{7}+\frac{1}{45360}x^{10}+\cdots.

Passo 8

Observações finais e independência: y_1 e y_2 têm ordens iniciais diferentes ( y_1(0)=1, y_2(0)=0 e y_2'(0)=1), portanto são linearmente independentes e formam uma base de soluções locais. A solução geral em torno de x=0 é
y(x)=C_1 y_1(x)+C_2 y_2(x),
com constantes arbitrárias C_1,C_2. (Essas séries são, até constantes de normalização, as séries das funções de Airy, mas não é necessário usar essa identificação aqui.)

Resposta

y_1(x)=\sum_{m=0}^{\infty}\frac{x^{3m}}{\displaystyle\prod_{j=1}^{m}\bigl(3j(3j-1)\bigr)} =1+\frac{1}{6}x^{3}+\frac{1}{180}x^{6}+\frac{1}{12960}x^{9}+\cdots
y_2(x)=\sum_{m=0}^{\infty}\frac{x^{3m+1}}{\displaystyle\prod_{j=1}^{m}\bigl((3j+1)(3j)\bigr)} =x+\frac{1}{12}x^{4}+\frac{1}{504}x^{7}+\frac{1}{45360}x^{10}+\cdots

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