Determine duas soluções em séries de potência da equação diferencial indicada ao redor do ponto ordinário
:
Passo 1
O enunciado pede: determinar duas soluções em séries de potência da equação diferencial em torno de
:
Informações dadas e o que se pede:
- A equação é linear de segunda ordem com coeficientes analíticos em
. - Precisamos encontrar duas soluções independentes expressas como séries de potência centradas em
. - Não foi dada condição inicial; portanto vamos obter duas soluções fundamentais (uma correspondendo ao termo inicial
livre e outra ao termo inicial livre).
Passo 2
Método: procurar uma solução em série de potência ao redor de
. Isso significa assumir
onde os
são constantes a determinar. Explico por que: como
é ponto ordinário, a solução é analítica e pode ser escrita como série de potências. Vamos então obter
e substituir na equação.
Passo 3
Calcular
e escrever as séries com os mesmos expoentes para comparar termos.
Reescrevendo
com índice deslocado
(para ter potências
):
Também
Somando as duas séries e igualando a zero obtemos
Passo 4
Agora igualamos coeficiente a coeficiente de cada potência
.
Para : só aparece da primeira soma, logo
Para
Para
: os coeficientes somam zero, então
ou seja a relação de recorrência
Passo 5
Interpretação da recorrência: ela liga índices separados por 3 unidades (porque
depende de
). Isso gera três progressões de índices:
,
e
. Como
, a terceira progressão zera todos os termos
por indução:
-
e pela recorrência com obtemos proporcional a . Logo toda a sequência é zero.
Sobraram apenas duas sequências independentes, determinadas pore . Assim teremos duas soluções fundamentais: uma com livre e , outra com livre e .
Passo 6
Construir a solução associada a
(tomar
). Usando a recorrência para os índices múltiplos de 3:
para temos
para
Daí, por indução,
com
livre e produto vazio para
igual a
. Assim a série correspondente (normalizando escolhendo
para obter uma solução canônica) é
Expliquei o primeiro termos:
,
, etc.
Passo 7
Construir a solução associada a
(tomar
). Para os índices da forma
a recorrência dá, para
,
o que leva a fórmula por indução
com
livre e produto vazio para
. Normalizando com
obtemos a segunda solução
Passo 8
Observações finais e independência:
e
têm ordens iniciais diferentes (
,
e
), portanto são linearmente independentes e formam uma base de soluções locais. A solução geral em torno de
é
com constantes arbitrárias
. (Essas séries são, até constantes de normalização, as séries das funções de Airy, mas não é necessário usar essa identificação aqui.)