You are asked to find the answers for parts (a) and (b) then explain the key differences between subsonic and supersonic flow behavior based on your answers to parts (a) and (b), particularly in terms of: (i) Pitot-tube pressure measurement, (ii) static pressure changes, (iii) Mach-number effects, and (iv) the presence or absence of shock waves. (30)
(a) A pitot tube inserted at the exit of a supersonic nozzle reads
. If the reservoir pressure is
, calculate the exit pressure.
(b) In the test section of a subsonic wind tunnel, a Pitot tube measures a total pressure of 121,684 Pa . If the total temperature is 318 K and the flow velocity in the test section is
, calculate the static (exit) pressure.
(a) A pitot tube inserted at the exit of a supersonic nozzle reads
(b) In the test section of a subsonic wind tunnel, a Pitot tube measures a total pressure of 121,684 Pa . If the total temperature is 318 K and the flow velocity in the test section is
Passo 1
O enunciado pede duas coisas separadas:
- (a) Determinar a pressão estática de saída (exit pressure) de um bocal supersônico sabendo que um tubo de Pitot inserido na saída lê
e que a pressão do reservatório (stagnation / reservoir pressure) é . - (b) No ensaio sub-sônico, no túnel, determinar a pressão estática no trecho de teste sabendo que o tubo de Pitot mede pressão total
, a temperatura total é e a velocidade no trecho é .
Nota importante (ambiguidade detectada): o valor dado para a “reservoir pressure” em (a) parece contraditório com a leitura do Pitot: um reservatório (pressão total a montante) tipicamente é maior que a pressão medida por um Pitot que foi reduzida por ondas de choque; aqui foi dado
(ou seja
), menor que
. Isso é fisicamente inconsistente. Vou assumir que houve um zero faltando e que a pressão do reservatório é
(ou seja
). Se essa suposição estiver errada a solução não será válida; estou explicitando isso porque não posso perguntar ao autor do enunciado.
Constantes e convenções que vou usar (ar comum):
-
. -
. - “Pitot reading” em fluxo supersônico corresponde à pressão total medida depois do choque normal que se forma na entrada do tubo (ver explicação nos passos seguintes).
Passo 2
Entendendo fisicamente o caso (a) e a relação que usarei:
- No escoamento supersônico, ao inserir um Pitot na corrente, forma-se um choque normal próximo à abertura do Pitot. O Pitot então mede a pressão total do fluido depois do choque normal, que chamarei de
. - A pressão total a montante (reservoir / stagnation antes do choque) é
. O enunciado dá (assumido). - A relação entre
e através de um choque normal depende do número de Mach amont e é dada por (fórmula padrão de choque normal):
- Vou usar essa relação para encontrar
no exit (o Mach na saída do bocal), porque (a leitura do Pitot) e (reservatório) são conhecidos. Depois, com posso obter a pressão estática de saída pela relação isentrópica (válida entre reservatório e saída antes do choque):
Aqui:
-
= pressão total (reservoir) a montante, -
= pressão total medida pelo Pitot (após o choque), -
= pressão estática na saída que queremos, -
= Mach na saída (antes do choque na boca do Pitot).
Passo 3
Cálculo numérico para (a): determinação de
a partir de
.
Dados (assumidos/fornecidos):
Razão:
Agora procurar
que satisfaça a equação do choque normal. Vou avaliar a expressão de
para alguns
e interpolar (método direto e usado em provas quando não há tabela disponível):
Avaliações rápidas (com
):
- Para
obtém-se (maior que ). - Para
obtém-se . - Para
obtém-se (muito próximo do valor requerido).
Portanto, tomo
(ou seja, a saída é aproximadamente Mach
). (Na prova, é aceitável fazer essa iteração numérica ou usar tabela de choque normal.)
Passo 4
Com
em mãos, achar a pressão estática de saída
usando relação isentrópica entre
e
:
Substituindo
e
:
Expoente
.
Logo
Interpretação: a pressão estática na saída do bocal supersônico é aproximadamente
.
Passo 5
Agora resolvo a parte (b) — caso subsonicotunnel:
Dados:
Objetivo: encontrar a pressão estática
no trecho de prova.
Estratégia didática:
- Em escoamento sub-sônico sem choques entre o ponto considerado e o tubo de Pitot, o Pitot mede a pressão total isentrópica
correspondente à mesma massa de ar desacelerada à estagnação isentrópica. Assim vale a relação isentrópica:
- Para usar essa fórmula precisamos do número de Mach
no trecho. Podemos obtê-lo a partir de e de . A relação entre temperatura total , temperatura estática e é:
E a velocidade é
. Podemos eliminar
e isolar
. Uma forma direta é combinar as duas equações e obter:
(derivação curta: a partir de
e
, manipula-se para a forma acima.)
Passo 6
Cálculo numérico para (b):
Calcule :
Calcule
Calcule
.
Então
Então
Agora a relação isentrópica para pressão:
Portanto
(Como checagem adicional, a temperatura estática é
o que é coerente com
calculado.)
Passo 7
Resumo físico e explicação didática das diferenças sub-sônico vs supersônico (com base nos resultados e fórmulas usadas). Vou tratar os quatro pontos pedidos, explicando o porquê e dando intuição:
(i) Pitot-tube pressure measurement
- Sub-sônico: o Pitot desacelera o escoamento isentropicamente até
(sem choque). Assim o Pitot mede a verdadeira pressão total isentrópica . Logo, está relacionada à pressão estática por . - Supersônico: ao colocar o Pitot a montante de um escoamento supersônico forma-se um choque normal na entrada do tubo. O Pitot mede a pressão total após esse choque (
), não a pressão total a montante ( ). Assim a leitura do Pitot é menor que porque há perda total de energia (aumento de entropia) através do choque. Em (a) vimos exatamente isso: .
(ii) Static pressure changes
- Sub-sônico: a relação entre pressão total e estática é contínua e dada pela isentrópica; a variação de pressão está associada à variação do Mach de forma suave (sem saltos). No exemplo (b) a pressão estática é aproximadamente
, obtida por relação isentrópica direta. - Supersônico: um choque produz um salto (discontinuidade) brusco nas quantidades estáticas: a pressão estática aumenta subitamente ao atravessar o choque (de
para ), a temperatura aumenta e a velocidade cai (de supersônico para subsônico). Por isso a leitura do Pitot no caso supersônico resulta de uma sequência: (estática na saída) —> choque normal na entrada do Pitot —> (total pós-choque medido). A pressão estática na saída pode ser muito menor do que .
(iii) Mach-number effects
- Sub-sônico: o número de Mach aparece apenas nas relações isentrópicas. Para Mach baixos (bem abaixo de 0,3) os efeitos compressíveis são pequenos; para Mach próximos de
– os efeitos começam a ser relevantes e devem ser considerados (como fizemos em (b): ). - Supersônico: o Mach determina fortemente onde e como ocorrem choques e as perdas de pressão total através deles. No exemplo (a) encontramos
— um valor que implica numa queda significativa da pressão total através do choque e numa pressão estática de saída muito menor que a pressão total antes do choque.
(iv) Presence or absence of shock waves
- Sub-sônico (no caso típico de um Pitot em regime sub-sônico): não há choque normal; o escoamento é desacelerado de forma aproximadamente isentrópica até zero. Não há aumento irreversível de entropia e, portanto, nenhuma perda de pressão total.
- Supersônico: necessariamente, ao inserir um Pitot você forçará a formação de um choque normal se o exame local for de velocidade supersônica. Choques normais causam perdas irreversíveis (queda de pressão total) e saltos nas propriedades estáticas. Na prática isso significa que a própria medição modifica a região próxima e exige correção/entendimento (usando fórmulas de choque) para relacionar a leitura do Pitot ao estado livre.
Em termos práticos de medição:
- Em sub-sônico é direto usar
lido no Pitot e a equação isentrópica para obter . - Em supersônico não se usa diretamente a leitura do Pitot como
a montante; é preciso reconhecer que a leitura é (pós-choque) e usar as relações de choque normal + relações isentrópicas para recuperar ou .
Resposta
(a)
(b)