(1,0) Se z=e^{x} \cos y, onde x=s^{2} t e y=4 s^{2} t, determine \frac{\partial z}{\partial s} (regra da cadeia), quando \mathrm{s}=1 e \mathrm{t}=2.

Passo 1

O enunciado dá a função z em termos de x e y, e x e y em termos de s e t. Precisa-se calcular a derivada parcial \dfrac{\partial z}{\partial s} usando a regra da cadeia, no ponto s=1, t=2.
Informações fornecidas:
  • z = e^{x}\cos y.
  • x = s^{2}t.
  • y = 4s^{2}t.
  • Avaliar \dfrac{\partial z}{\partial s} quando s=1 e t=2.
Pergunta pedida:
  • Calcular \dfrac{\partial z}{\partial s} no ponto (s,t)=(1,2).

Passo 2

Entendendo a regra da cadeia para funções compostas: quando z depende de x e y, que por sua vez dependem de s e t, a derivada parcial de z em relação a s (mantendo t como constante) é
\frac{\partial z}{\partial s} = \frac{\partial z}{\partial x}\,\frac{\partial x}{\partial s} + \frac{\partial z}{\partial y}\,\frac{\partial y}{\partial s}.
Explicação das notações:
  • \dfrac{\partial z}{\partial s} é a taxa de variação de z quando só s varia e t fica fixo.
  • \dfrac{\partial z}{\partial x} é a derivada parcial de z tratando y como constante.
  • \dfrac{\partial x}{\partial s} e \dfrac{\partial y}{\partial s} são derivadas de x e y em relação a s, tratando t como constante.

Passo 3

Calcular as derivadas parciais de z em relação a x e y.
Temos z(x,y)=e^{x}\cos y.
Derivando em relação a x (com y fixo):
\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}\big(e^{x}\cos y\big) = e^{x}\cos y.
Motivo: derivada de e^{x} é e^{x}, e \cos y é constante quando derivamos em x.
Derivando em relação a y (com x fixo):
\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}\big(e^{x}\cos y\big) = e^{x}\cdot(-\sin y) = -e^{x}\sin y.
Motivo: e^{x} é constante em y; derivada de \cos y é -\sin y.

Passo 4

Calcular \dfrac{\partial x}{\partial s} e \dfrac{\partial y}{\partial s}, tratando t como constante.
Dado x = s^{2}t. Derivando em s:
\frac{\partial x}{\partial s} = \frac{\partial}{\partial s}(s^{2}t) = 2s\,t.
Porque t é constante e derivada de s^{2} é 2s.
Dado y = 4s^{2}t. Derivando em s:
\frac{\partial y}{\partial s} = \frac{\partial}{\partial s}(4s^{2}t) = 8s\,t.
Porque 4t é constante multiplicando s^{2}, então derivada é 4t\cdot 2s = 8s t.

Passo 5

Aplicar a regra da cadeia com as derivadas encontradas.
Substituindo em
\frac{\partial z}{\partial s} = \frac{\partial z}{\partial x}\,\frac{\partial x}{\partial s} + \frac{\partial z}{\partial y}\,\frac{\partial y}{\partial s},
obtém-se
\frac{\partial z}{\partial s} = \big(e^{x}\cos y\big)\,(2s t) + \big(-e^{x}\sin y\big)\,(8s t).
Fatorando e^{x}s t:
\frac{\partial z}{\partial s} = e^{x}s t\,(2\cos y - 8\sin y).
Podemos também escrever factorizando 2:
\frac{\partial z}{\partial s} = 2\,e^{x}s t\,(\cos y - 4\sin y).

Passo 6

Agora avaliar no ponto s=1, t=2. Primeiro calcular x e y nesse ponto:
x = s^{2}t = 1^{2}\cdot 2 = 2,
y = 4s^{2}t = 4\cdot 1^{2}\cdot 2 = 8.
Substituindo s=1, t=2, x=2, y=8 na expressão fatorada:
\frac{\partial z}{\partial s}\Big|_{(1,2)} = e^{2}\cdot 1\cdot 2\,(2\cos 8 - 8\sin 8).
Simplificando:
\frac{\partial z}{\partial s}\Big|_{(1,2)} = 4e^{2}(\cos 8 - 4\sin 8).

Resposta

4e^{2}\big(\cos 8 - 4\sin 8\big)

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