Se
, onde
e
, determine
(regra da cadeia), quando
e
.
Passo 1
O enunciado dá a função
em termos de
e
, e
e
em termos de
e
. Precisa-se calcular a derivada parcial
usando a regra da cadeia, no ponto
,
.
Informações fornecidas:
-
. -
. -
. - Avaliar
quando e .
Pergunta pedida:
- Calcular
no ponto .
Passo 2
Entendendo a regra da cadeia para funções compostas: quando
depende de
e
, que por sua vez dependem de
e
, a derivada parcial de
em relação a
(mantendo
como constante) é
Explicação das notações:
-
é a taxa de variação de quando só varia e fica fixo. -
é a derivada parcial de tratando como constante. -
e são derivadas de e em relação a , tratando como constante.
Passo 3
Calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
.
Temos
.
Derivando em relação a
(com
fixo):
Motivo: derivada de
é
, e
é constante quando derivamos em
.
Derivando em relação a
(com
fixo):
Motivo:
é constante em
; derivada de
é
.
Passo 4
Calcular
e
, tratando
como constante.
Dado
. Derivando em
:
Porque
é constante e derivada de
é
.
Dado
. Derivando em
:
Porque
é constante multiplicando
, então derivada é
.
Passo 5
Aplicar a regra da cadeia com as derivadas encontradas.
Substituindo em
obtém-se
Fatorando
:
Podemos também escrever factorizando
:
Passo 6
Agora avaliar no ponto
,
. Primeiro calcular
e
nesse ponto:
Substituindo
,
,
,
na expressão fatorada:
Simplificando: