Uma onda eletromagnética plana propagando-se através do vácuo é descrita pelos seguintes campos elétrico e magnético: E_{x}=E_{o} \operatorname{sen}(k z-\omega t), B_{y}=\frac{E_{o}}{c} \operatorname{sen}(k z-\omega t), E_{y}=E_{z}=B_{x}=B_{z}=0.
(a) Qual é o sentido de propagação da onda? (b) Determine a potência média por unidade de área.
(c) Se a onda atinge uma folha perfeitamente absorvedora de 1,85 \mathrm{~m}^{2}, com que taxa a quantidade de movimento é fornecida a folha e (d) qual a pressão de radiação exercida sobre a folha?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Campos fornecidos (peguei estes do enunciado):
    • E_x = E_0 \sin(kz-\omega t).
    • B_y = \dfrac{E_0}{c}\sin(kz-\omega t).
    • E_y=E_z=B_x=B_z=0.
  • Dados numéricos: área da folha A = 1,85\\ \mathrm{m}^2 (peguei este número do enunciado).
  • Perguntas:
    (a) Qual o sentido de propagação da onda?
    (b) Determine a potência média por unidade de área (ou seja, o valor médio do vetor de Poynting).
    (c) Se a onda atinge uma folha perfeitamente absorvedora de 1,85\\ \mathrm{m}^2, com que taxa a quantidade de movimento é fornecida à folha (ou seja, dp/dt)?
    (d) Qual a pressão de radiação exercida sobre a folha?

Passo 2

Determinar o sentido de propagação.
  • A fase da onda é \varphi=kz-\omega t. Considere um ponto de fase constante \varphi= constante. Então kz-\omega t=\text{const}\quad\Rightarrow\quad z=\frac{\omega}{k}t+\text{const}.Como \dfrac{\omega}{k}=v (velocidade de fase) e no vácuo v=c>0, z aumenta quando t aumenta. Logo a onda desloca-se no sentido positivo do eixo z.
  • Alternativamente: \mathbf{E} está em +\hat{x} (varia com \sin), \mathbf{B} em +\hat{y} (mesma fase). O vetor de Poynting \mathbf{S}=\dfrac{1}{\mu_0}\mathbf{E}\times\mathbf{B} aponta em +\hat{z}. Portanto a propagação é no sentido +z.
Resposta do item (a): a onda propaga-se no sentido +z.

Passo 3

Introduzir o vetor de Poynting e calcular o fluxo instantâneo de energia.
  • Definição: o vetor de Poynting é \mathbf{S}=\frac{1}{\mu_0}\mathbf{E}\times\mathbf{B},onde \mu_0 é a permeabilidade do vácuo. Esse vetor representa a densidade de fluxo de energia eletromagnética (potência por área) no instante t.
  • Para os campos dados: \mathbf{E}=E_x\hat{x} e \mathbf{B}=B_y\hat{y}. Então \mathbf{E}\times\mathbf{B} = E_x B_y\,\hat{z}.Substituindo as expressões: S_z(t)=\frac{1}{\mu_0}E_x B_y = \frac{1}{\mu_0}\left(E_0\sin(kz-\omega t)\right)\left(\frac{E_0}{c}\sin(kz-\omega t)\right).Portanto S_z(t)=\frac{E_0^2}{\mu_0 c}\sin^2(kz-\omega t).

Passo 4

Calcular a potência média por unidade de área (média temporal do vetor de Poynting).
  • A média temporal de \sin^2 sobre um período é \langle\sin^2\rangle = \tfrac{1}{2}. Aplicando isso: \langle S\rangle \equiv \langle S_z(t)\rangle = \frac{E_0^2}{\mu_0 c}\cdot\frac{1}{2} = \frac{E_0^2}{2\mu_0 c}.
  • Usando a relação entre constantes do vácuo c^2=\dfrac{1}{\mu_0\varepsilon_0} (logo \dfrac{1}{\mu_0 c}=\varepsilon_0 c), pode-se também escrever \langle S\rangle = \frac{\varepsilon_0 c E_0^2}{2}.
  • Interpretação: \langle S\rangle é a potência média transportada por unidade de área pela onda.
Resposta do item (b): a potência média por unidade de área é \displaystyle \langle S\rangle=\frac{E_0^2}{2\mu_0 c}=\frac{\varepsilon_0 c E_0^2}{2}.

Passo 5

Energia absorvida pela folha e taxa de fornecimento de quantidade de movimento.
  • Potência absorvida pela folha de área A (perfeitamente absorvedora) é P_{\text{abs}}=\langle S\rangle A.
  • Cada joule de energia transportada pela radiação carrega momento p=\dfrac{E}{c}. Para absorção completa, a taxa de variação do momento (força) exercida na folha é \frac{dp}{dt}=\frac{P_{\text{abs}}}{c}=\frac{\langle S\rangle A}{c}.
  • Substituindo \langle S\rangle: \frac{dp}{dt}=\frac{1}{c}\cdot\frac{E_0^2}{2\mu_0 c}\,A = \frac{E_0^2 A}{2\mu_0 c^2}.Usando \dfrac{1}{\mu_0 c^2}=\varepsilon_0 (porque 1/(\mu_0 c^2)=\varepsilon_0), isto se simplifica para \frac{dp}{dt}=\frac{\varepsilon_0 E_0^2 A}{2}.
  • Agora coloque a área dada A=1,85\\ \mathrm{m}^2 (peguei este valor do enunciado). Então \frac{dp}{dt}=\frac{\varepsilon_0 E_0^2}{2}\times 1,85.(Sem um valor numérico para E_0 não se obtém um número final; a expressão acima é a taxa de variação de momento em função de E_0.)
Resposta do item (c): \displaystyle \frac{dp}{dt}=\frac{\varepsilon_0 E_0^2 A}{2}=\frac{\varepsilon_0 E_0^2}{2}\times 1{,}85\\ \\ ( \mathrm{N} ).
Observação: as unidades são newtons (kg·m/s^2), pois taxa de variação de momento é força.

Passo 6

Pressão de radiação sobre a folha.
  • A pressão de radiação P_{\text{rad}} é a força por unidade de área: P_{\text{rad}}=\frac{1}{A}\frac{dp}{dt}=\frac{\langle S\rangle}{c}.
  • Substituindo \langle S\rangle: P_{\text{rad}}=\frac{1}{c}\cdot\frac{E_0^2}{2\mu_0 c}=\frac{E_0^2}{2\mu_0 c^2}=\frac{\varepsilon_0 E_0^2}{2}.
  • Interpretação física: para absorção perfeita a pressão média é igual à densidade média de energia eletromagnética u_{\text{média}}=\varepsilon_0 E_0^2/2é.
Resposta do item (d): \displaystyle P_{\text{rad}}=\frac{\varepsilon_0 E_0^2}{2}.

Resposta

(a) A onda propaga-se no sentido +z.\newline
(b) \displaystyle \langle S\rangle=\frac{E_0^2}{2\mu_0 c}=\frac{\varepsilon_0 c E_0^2}{2}.\newline
(c) \displaystyle \frac{dp}{dt}=\frac{\varepsilon_0 E_0^2 A}{2}=\frac{\varepsilon_0 E_0^2}{2}\times 1{,}85.\newline
(d) \displaystyle P_{\text{rad}}=\frac{\varepsilon_0 E_0^2}{2}.

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