z=e^{x^{2} y}, x=s^{2}-t, y=\cos (s)
Encontre d z / d s e d z / d t.

Passo 1

O enunciado fornece as funções
z = e^{x^{2}y},\qquad x = s^{2}-t,\qquad y = \cos(s).
Pede-se encontrar as derivadas totais \dfrac{dz}{ds} e \dfrac{dz}{dt}.

Passo 2

Calcular as derivadas parciais de z em relação a x e a y. Aqui z é uma função de x e y, com z(x,y)=e^{x^{2}y}.
Regra usada (explicação rápida): a derivada da função exponencial e^{u} em relação a u é e^{u}. Se u depende de x, aplica-se a regra da cadeia: \dfrac{d}{dx}e^{u(x)}=e^{u(x)}\cdot u'(x).
Aplicando isso a z:
\frac{\partial z}{\partial x} = e^{x^{2}y}\cdot \frac{\partial}{\partial x}\bigl(x^{2}y\bigr) = e^{x^{2}y}\cdot (2x y) =2x y\,e^{x^{2}y}.
\frac{\partial z}{\partial y} = e^{x^{2}y}\cdot \frac{\partial}{\partial y}\bigl(x^{2}y\bigr) = e^{x^{2}y}\cdot x^{2} = x^{2}\,e^{x^{2}y}.

Passo 3

Calcular as derivadas das funções intermediárias x(s,t) e y(s) em relação a s e t.
Para x(s,t)=s^{2}-t:
\frac{\partial x}{\partial s}=2s,\qquad \frac{\partial x}{\partial t}=-1.
Para y(s)=\cos(s):
\frac{dy}{ds}=\frac{d}{ds}\cos(s)=-\sin(s),\qquad \frac{dy}{dt}=0
pois y não depende de t.

Passo 4

Explicar e aplicar a regra da cadeia para derivadas totais: quando z depende de x e y, que por sua vez dependem de s e t, as derivadas totais são
\frac{dz}{ds}=\frac{\partial z}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial s}+\frac{\partial z}{\partial y}\frac{dy}{ds}, \qquad \frac{dz}{dt}=\frac{\partial z}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial t}+\frac{\partial z}{\partial y}\frac{dy}{dt}.
Isto vem de somar as contribuições em z quando x e y mudam com s ou t.

Passo 5

Substituir as parciais calculadas nos fórmulas da regra da cadeia.
Primeiro \dfrac{dz}{ds}:
\frac{dz}{ds} = \bigl(2x y\,e^{x^{2}y}\bigr)\cdot(2s) + \bigl(x^{2}\,e^{x^{2}y}\bigr)\cdot(-\sin(s)).
Fatorando e^{x^{2}y}:
\frac{dz}{ds}=e^{x^{2}y}\bigl(4s x y - x^{2}\sin(s)\bigr).
Agora \dfrac{dz}{dt}:
\frac{dz}{dt} = \bigl(2x y\,e^{x^{2}y}\bigr)\cdot(-1) + \bigl(x^{2}\,e^{x^{2}y}\bigr)\cdot 0 = -2x y\,e^{x^{2}y}.

Passo 6

Substituir x=s^{2}-t e y=\cos(s) para expressar as derivadas em termos de s e t.
Para \dfrac{dz}{ds}:
\frac{dz}{ds} = e^{(s^{2}-t)^{2}\cos(s)}\Bigl(4s\,(s^{2}-t)\cos(s)- (s^{2}-t)^{2}\sin(s)\Bigr).
Para \dfrac{dz}{dt}:
\frac{dz}{dt} = -2\,(s^{2}-t)\cos(s)\; e^{(s^{2}-t)^{2}\cos(s)}.

Resposta

\frac{dz}{ds}=e^{(s^{2}-t)^{2}\cos(s)}\Bigl(4s\,(s^{2}-t)\cos(s)- (s^{2}-t)^{2}\sin(s)\Bigr)
\frac{dz}{dt}=-2\,(s^{2}-t)\cos(s)\; e^{(s^{2}-t)^{2}\cos(s)}

Exercícios relacionados