Encontre
.
Passo 1
O enunciado fornece as funções
Pede-se encontrar as derivadas totais
e
.
Passo 2
Calcular as derivadas parciais de
em relação a
e a
. Aqui
é uma função de
e
, com
.
Regra usada (explicação rápida): a derivada da função exponencial
em relação a
é
. Se
depende de
, aplica-se a regra da cadeia:
.
Aplicando isso a
:
Passo 3
Calcular as derivadas das funções intermediárias
e
em relação a
e
.
Para
:
Para
:
pois
não depende de
.
Passo 4
Explicar e aplicar a regra da cadeia para derivadas totais: quando
depende de
e
, que por sua vez dependem de
e
, as derivadas totais são
Isto vem de somar as contribuições em
quando
e
mudam com
ou
.
Passo 5
Substituir as parciais calculadas nos fórmulas da regra da cadeia.
Primeiro
:
Fatorando
:
Agora
:
Passo 6
Substituir
e
para expressar as derivadas em termos de
e
.
Para
:
Para
: