Ar a 20^{\circ} \mathrm{C} e 1 atm escoa através de um tubo circular liso com diâmetro \mathrm{D}=25 \mathrm{~mm} e comprimento L 1,5 \mathrm{~m}. A velocidade média é 15 \mathrm{~m} / \mathrm{s} e a parede do tubo é mantida a 80^{\circ} \mathrm{C}.
Determine:
O número de Nusselt médio

Passo 1

Vou listar de forma clara o que o enunciado fornece e o que pede:
  • Dados fornecidos:
    • Ar a 20^\circ\mathrm{C} e 1\\ \mathrm{atm} (condição de entrada).
    • Diâmetro do tubo: D=25\\ \mathrm{mm}=0{,}025\\ \mathrm{m}.
    • Comprimento do tubo: L=1{,}5\\ \mathrm{m}.
    • Velocidade média: V=15\\ \mathrm{m/s}.
    • Temperatura da parede: T_w=80^\circ\mathrm{C}.
  • O que o enunciado pede:
    • Determinar o número de Nusselt médio ( \mathrm{Nu}_m) para o escoamento.
Observações importantes (que serão usadas nos próximos passos):
  • Para fluxo interno convectivo vamos precisar saber o regime de escoamento (Reynolds), a Prandtl do fluido e então aplicar uma correlação empírica adequada (por exemplo Dittus–Boelter ou Gnielinski).
  • Para avaliar propriedades do ar (densidade, viscosidade, condutividade térmica, c_p) usaremos a temperatura de filme \,T_f=(T_{bulk}+T_w)/2. Vou adotar T_{bulk}=20^\circ\mathrm{C} como temperatura média do fluido de entrada (o enunciado não dá perfil de temperatura interno), portanto \,T_f=(20+80)/2=50^\circ\mathrm{C}. Valores de propriedades do ar em T_f serão obtidos de tabela de propriedades (valores típicos).

Passo 2

Explicando a temperatura de filme e as propriedades:
  • A temperatura de filme \,T_f é usada porque as propriedades do fluido variam com a temperatura entre o fluido e a parede; uma boa aproximação é avaliar as propriedades na média entre as temperaturas do fluido e da parede.
  • Aqui: T_f = \frac{T_{bulk}+T_w}{2} = \frac{20^\circ\mathrm{C}+80^\circ\mathrm{C}}{2} = 50^\circ\mathrm{C}.
  • Peguei de tabela (propriedades típicas do ar à T_f=50^\circ\mathrm{C}) os seguintes valores: \rho = 1{,}093\\ \mathrm{kg\!/m^3}, \qquad \mu = 1{,}95\times10^{-5}\\ \mathrm{Pa\cdot s},
c_p = 1007\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}, \qquad k = 0{,}0277\\ \mathrm{W/(m\cdot K)}.
(Obs.: estes números são valores típicos encontrados em tabelas para ar seco a 1 atm e 50^\circ\mathrm{C}.)

Passo 3

Calcular o número de Reynolds \mathrm{Re} para identificar o regime:
  • Fórmula: \mathrm{Re}=\frac{\rho V D}{\mu},onde \rho é densidade ( \mathrm{kg/m^3}), V é velocidade média ( \mathrm{m/s}), D é diâmetro ( \mathrm{m}) e \mu é viscosidade dinâmica ( \mathrm{Pa\cdot s}).
  • Substituindo: \rho V D = 1{,}093 \times 15 \times 0{,}025 = 0{,}409875,
\mathrm{Re} = \frac{0{,}409875}{1{,}95\times10^{-5}} \approx 2{,}10\times10^{4}.
  • Interpretação: \mathrm{Re}\approx2{,}1\cdot10^{4}, ou seja o escoamento é turbulento (pois \mathrm{Re}>4000).

Passo 4

Calcular o número de Prandtl \mathrm{Pr}:
  • Fórmula: \mathrm{Pr}=\frac{c_p\,\mu}{k},onde c_p é capacidade térmica (J/kg·K), \mu viscosidade e k condutividade térmica.
  • Substituindo: c_p\mu = 1007 \times 1{,}95\times10^{-5} = 0{,}01967,
\mathrm{Pr} = \frac{0{,}01967}{0{,}0277} \approx 0{,}71.
  • Interpretação: \mathrm{Pr}\approx0{,}71, valor típico do ar.

Passo 5

Escolha da correlação para \mathrm{Nu} e justificativa:
  • Para escoamento interno turbulento em tubos lisos e comprimentos suficientes ( L/D grande) uma correlação clássica e frequentemente usada em provas é a de Dittus–Boelter: \mathrm{Nu}=0{,}023\\ \mathrm{Re}^{0{,}8}\\ \mathrm{Pr}^{n},onde n=0{,}4 quando o fluido é aquecido pela parede (caso aqui — parede a 80^\circ\mathrm{C} e fluido mais frio) e n=0{,}3 quando o fluido é resfriado pela parede.
  • Condições de validade (aproximação): \mathrm{Re}\gtrsim10^4, 0{,}7\lesssim\mathrm{Pr}\lesssim160, L/D tipicamente >10. No nosso caso: L/D = \frac{1{,}5}{0{,}025} = 60,logo as condições são satisfeitas.
  • Portanto usaremos Dittus–Boelter com n=0{,}4.

Passo 6

Calcular \mathrm{Nu}_m pelo Dittus–Boelter passo a passo:
  • Escrever a fórmula escolhida: \mathrm{Nu}=0{,}023\\ \mathrm{Re}^{0{,}8}\\ \mathrm{Pr}^{0{,}4}.
  • Calcular \mathrm{Re}^{0{,}8}: \mathrm{Re}^{0{,}8} = (2{,}10\times10^{4})^{0{,}8} \approx 2{,}878\times10^{3}.
  • Calcular \mathrm{Pr}^{0{,}4}: \mathrm{Pr}^{0{,}4} = (0{,}71)^{0{,}4} \approx 0{,}872.
  • Agora \mathrm{Nu}: \mathrm{Nu} = 0{,}023 \times 2878 \times 0{,}872 \approx 57{,}7.

Passo 7

Interpretação e observações finais:
  • O número de Nusselt médio encontrado é \mathrm{Nu}_m\approx57{,}7. O Nusselt é adimensional e expressa a razão entre convecção e condução.
  • Nota sobre seleção de correlação: a Dittus–Boelter é simples e adequada para provas; se fosse necessária maior precisão poderia-se usar a correlação de Gnielinski, que dá resultado um pouco diferente mas exige o fator de atrito f. Para estimativas rápidas e prova, Dittus–Boelter é aceitável nas condições dadas.

Resposta

\mathrm{Nu}_m \approx 58

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