4 z=2 x+y é a equação do plano tangente ao gráfico de f(x, y) no ponto (1,1,3). Calcule partial fpartial x(1,1) e partial fpartial y(1,1)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a equação do plano tangente ao gráfico da função no ponto , que é . Nosso objetivo aqui é encontrar as derivadas parciais de em relação a e no ponto , ou seja, e . Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, especialmente sobre planos tangentes e derivadas parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação do plano tangente de uma forma que facilite a comparação com a fórmula padrão do plano tangente. A equação dada é:
4z = 2x + y
Podemos rearranjar isso para ficar em termos de z = 2x + y4 :

Passo 3

Agora, lembrando da fórmula geral do plano tangente para uma função z = f(a, b) + partial fpartial x(a, b)(x - a) + partial fpartial y(a, b)(y - b) no ponto z = 3 + partial fpartial x(1, 1)(x - 1) + partial fpartial y(1, 1)(y - 1) :
No nosso caso, , e . Substituindo esses valores na fórmula:

Passo 4

Agora, vamos igualar as duas expressões que temos para 3 + partial fpartial x(1, 1)(x - 1) + partial fpartial y(1, 1)(y - 1) = 2x + y4 :

Passo 5

Para facilitar a comparação, vamos expandir e reorganizar a equação:
partial fpartial x(1, 1)(x - 1) + partial fpartial y(1, 1)(y - 1) = 2x + y4 - 3
partial fpartial x(1, 1)(x - 1) + partial fpartial y(1, 1)(y - 1) = 2x + y - 124

Passo 6

Agora, vamos comparar os coeficientes dos termos e de ambos os lados da equação. Observando o lado esquerdo:
  • O coeficiente de é .
  • O coeficiente de é .
No lado direito:
  • O coeficiente de é .
  • O coeficiente de é .

Passo 7

Igualando os coeficientes correspondentes:
partial fpartial x(1, 1) = 12
partial fpartial y(1, 1) = 14

Resposta

As derivadas parciais no ponto partial fpartial x(1,1) = 12 são:
partial fpartial y(1,1) = 14

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