Determine o polinômio de Taylor de ordem 2 da função dada, em volta do ponto ( x0, y0 ) dado.
a) f(x, y) = x sen(y) e (x0, y0) = (0, 0)

Passo 1

Entendendo o problema:
A gente precisa encontrar o polinômio de Taylor de ordem 2 para a função em torno do ponto . Para isso, vamos precisar saber como calcular derivadas parciais e aplicar a fórmula do polinômio de Taylor para funções de duas variáveis.

Passo 2

Fórmula do Polinômio de Taylor de segunda ordem:
Para uma função de duas variáveis expandida em torno de , o polinômio de Taylor de ordem 2 é dado por:
Aqui, e são as derivadas parciais de primeira ordem, e , , são as derivadas parciais de segunda ordem.

Passo 3

Calculando :
Substituímos e na função original:

Passo 4

Calculando as derivadas parciais de primeira ordem em :
  1. Derivada parcial em relação a :
Então,
  1. Derivada parcial em relação a :
Então,

Passo 5

Calculando as derivadas parciais de segunda ordem em :
  1. Derivada parcial segunda em relação a :
Então,
  1. Derivada mista :
Então,
  1. Derivada parcial segunda em relação a :
Então,

Passo 6

Montando o polinômio de Taylor de segunda ordem:
Substituímos todos os valores encontrados na fórmula do Passo 2:
Simplificando:

Resposta

O polinômio de Taylor de ordem 2 da função em torno do ponto é:

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