Determine o polinômio de Taylor de ordem 2 da função dada, em volta do ponto (
) dado.
a)
e
a)
Passo 1
Entendendo o problema:
A gente precisa encontrar o polinômio de Taylor de ordem 2 para a função em torno do ponto . Para isso, vamos precisar saber como calcular derivadas parciais e aplicar a fórmula do polinômio de Taylor para funções de duas variáveis.
A gente precisa encontrar o polinômio de Taylor de ordem 2 para a função em torno do ponto
Passo 2
Fórmula do Polinômio de Taylor de segunda ordem:
Para uma função de duas variáveis expandida em torno de
, o polinômio de Taylor de ordem 2 é dado por:
Para uma função de duas variáveis
Aqui,
e
são as derivadas parciais de primeira ordem, e
,
,
são as derivadas parciais de segunda ordem.
Passo 3
Calculando
:
Substituímos e
na função original:
Substituímos
Passo 4
Calculando as derivadas parciais de primeira ordem em
:
- Derivada parcial em relação a
:
Então,
- Derivada parcial em relação a
:
Então,
Passo 5
Calculando as derivadas parciais de segunda ordem em
:
- Derivada parcial segunda em relação a
:
Então,
- Derivada mista
:
Então,
- Derivada parcial segunda em relação a
:
Então,
Passo 6
Montando o polinômio de Taylor de segunda ordem:
Substituímos todos os valores encontrados na fórmula do Passo 2:
Simplificando:
Resposta
O polinômio de Taylor de ordem 2 da função em torno do ponto
é: