z 1=x+y i
z 2=w+z i,
z 1 cdot z 2=(x+y i)(w+z i)
z 1 cdot z 2=x w+x z i+w y i+y z i^2
Sendo i^2=-1
z 1 cdot z 2=x w+x z i+w y i-y z
z 1 cdot z 2=(x w-y z)+(x z+w y) i

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra mostrar direitinho como a gente multiplica dois números complexos
e

e provar que
.
Aqui a matéria é Álgebra de Números Complexos e a ferramenta principal é:
  1. propriedade distributiva (ou “FOIL”, se você curte mnemônicos em inglês)
  2. a definição .

Passo 2

Vamos aplicar a distributiva, isto é, multiplicar cada termo de (x + y,i),(w + z,i) = xcdot w ;+; xcdot (z,i) ;+; y,icdot w ;+; y,icdot (z,i) por cada termo de :
A regra é: cada pedaço de um parêntese vai multiplicar cada pedaço do outro.

Passo 3

Agora simplifica cada produto:
  1. xw ;+; xz,i ;+; wy,i ;+; yz,i^2 (é só número real).
  2. .
  3. .
  4. .
Então até aqui temos

Passo 4

Lembra que yz,i^2 = yzcdot(-1) = -yz . Substituindo:
xw ;-; yz ;+; xz,i ;+; wy,i
Então a soma vira

Passo 5

Agrupa a parte real e a parte imaginária:
  • Real: (z1 cdot z2) = (xw - yz);+;(xz + wy),i
  • Imaginária (o que vem multiplicado por ):
Logo a gente escreve tudo junto como um número complexo:

Resposta

boxed,z1cdot z2 = (xw - yz);+;(xz + wy),i,

Exercícios relacionados