Enunciado

12. No capitulo 9 (Exemplo 9-15), nós geramos uma solução ‘’exata’’ da equação de Navier-stokes para escoamento Couette totalmente desenvolvido entre duas placas planas horizontais (Figura P10-12), com a gravidade agindo na direção negativa de z (para dentro da página da Figura P10-12). Usamos a pressão real nesse exemplo. Repita a solução para a componente x da velocidade u e pressão P, mas use a pressão modificada nas suas equações. A pressão é P 0 em z = 0 . Mostre que você obtém o mesmo resultado de antes. Discuta.

Passo 1

Neste caso, teríamos de proceder de forma parecida que no exemplo indicado pelo enunciado, mudano somente a pressão.

Devemos, definir as condições de contorno do problema:

CC1: Condição de não deslizamento na placa inferior

y = 0 ,   u = v = w = 0

CC2: Condição de não deslizamento na placa superior

y = h ,   u = v ,   v = 0   ,   w = 0

CC3: Condição de não deslizamento

z = 0 ,   P = P 0   p o r t a n t o ,       P = P ' + ρ g h = P 0

Com isso, se considerarmos como as hipóteses feitas anteriormente, podemos fazer como simplificaremos as equações de hereditariedade e movimento.

Passo 2

Equação da hereditariedade:

∂ u ∂ x + ∂ v ∂ y + ∂ w   ∂ z = 0

De acordo com as hipóteses 1 e 6, respectivamente, v = 0 e w = 0.

Então, nossa equação de hereditariedade simplificada nos fornece:

∂ u ∂ x = 0

Veja que esse resultado nos mostra que não é uma função de x, ou seja, o escoamento é totalmente desenvolvido.

Sabe o que isso significa?

Bom, quer dizer que ou escoamento independente da localização de origem. Além disso, como você não tem uma função de tempo nem z, temos que apenas uma função de y:

u = u ( y )

Equação do movimento:

Componente x:

ρ ∂ u ∂ t + u ∂ u ∂ x + v ∂ u ∂ y + w ∂ u ∂ z = - ∂ P ' ∂ x + μ ∂ 2 u ∂ x 2 + ∂ 2 u ∂ y 2 + ∂ 2 u ∂ z 2

Como o escoamento é estacionário, não há dependência em relação ao tempo

∂ 2 u ∂ y 2 = 0

Componente y:

ρ ∂ v ∂ t + u ∂ v ∂ x + v ∂ v ∂ y + w ∂ v ∂ z = - ∂ P ' ∂ y + μ ∂ 2 v ∂ x 2 + ∂ 2 v ∂ y 2 + ∂ 2 v ∂ z 2

∂ P ' ∂ y = 0

Componente z:

ρ ∂ w ∂ t + u ∂ w ∂ x + v ∂ w ∂ y + w ∂ w ∂ z = - ∂ P ' ∂ z + μ ∂ 2 w ∂ x 2 + ∂ 2 w ∂ y 2 + ∂ 2 w ∂ z 2

∂ P ' ∂ z = 0

Ou seja, uma pressão modificada P 'não é função do nem z.

P 'também não é função do tempo, afirma essa hipótese (2).

Nem de x, como afirmado pela hipótese (5). Assim, podemos concluir que P 'é constante.

P ' = C 3

Agora, integramos duas vezes a simplificação do componente x da equação de movimento e vamos encontrar:

u = C 1 y + C 2

Onde C 1 e C 2 são constantes de integração!

Desta vez, aplicáveis ​​às condições de contorno pré-definidas, obtemos C 1, C 2 e C 3 :

CC3:

z = 0 ,   P ' = P 0 →     C 3 = P 0

P = P 0 - ρ g h

CC1:

u = C 1 0 + C 2 = 0 → C 2 = 0

CC2:

w = C 1 h + 0 = V → C 1 = V h

E substituído na equação da velocidade em x (u), obtendo, finalmente, o perfil de velocidade:

u = V y h

Resposta

Demonstração.

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