Enunciado

Uma gota de água em uma nuvem de chuva tem um diâmetro D = 30   μ m (Figura P10-21). A temperatura do ar é 25°C e sua pressão é a pressão atmosférica padrão. Com que rapidez o ar tem que se mover verticalmente para que a gota permaneça suspensa no ar?

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem?

Primeiramente, assumimos que:

1. A queda é esférica.

2. A aproximação do fluxo rastejante é apropriada para a resolução do problema.

Bem, devemos encontrar a velocidade do ar para que a gota permaneça suspensa no ar, de acordo com os dados do problema, que são:

  D = 30   μ m             T = 25 0 C       μ = 1,849 ⋅ 10 - 5 k g m ⋅ s     ρ a r = 1,184 k g m 3     ρ á g u a = 997 k g m 3    

Obs: As propriedades da água e do ar à 25 0 C são encontradas na Tabela A-3 e A-9, respectivamente.

Passo 2

Como a “queda” da gota em relação ao ar deve ser nula, sua força descendente deve equilibrar exatamente com sua força ascendente, que no caso se refere à força exercida pelo ar. A força descendente é a força peso da partícula (sabendo que o volume de uma esfera é V = 4 3 π R ³ ):

F p = m g = V e s f e r a ⋅ ρ a g u a ⋅ g                   → F p = 4 3 π D 2 3 ⋅ ρ a g u a ⋅ g

Assim:

F p = π D 3 6 ρ á g u a g                   ( 1 )

A força ascendente é a força aerodinâmica de arrasto que atua na partícula mais a força de flutuação na partícula.

F A = F a r r a s t o + F f l u t u a ç ã o

Sabemos que força de arrasto sobre uma esfera em escoamento lento é F a r r a s t o = 3 π μ V D , enquanto que a força de flutuação nada mais é do que a força peso do ar. Então:

F A = 3 π μ V D + π D 3 6 ρ a r g                   ( 2 )

Passo 3

Assim, para o equilíbrio, as forças ascendente e descendente devem ser iguais. Igualando as equações 1 e 2, temos:

π D 3 6 ρ a g u a g = 3 π μ V D + π D 3 6 ρ a r g                 →   π D 3 6 ρ a g u a - ρ a r g = 3 π μ V D

Como queremos descobrir a velocidade, a isolamos:

V = D 2 18 μ ρ a g u a - ρ a r g = 30 ⋅ 10 - 6   m 2 18 1,849 ⋅ 10 - 5 k g m ⋅ s 998 - 1,184 k g m 3 ⋅ 9,81 m s 2  

Portanto:

V = 0,0264 m s

Por fim, devemos verificar se o número de Reynolds é pequeno o suficiente para que a aproximação do escoamento lento seja apropriada:

R e = ρ a r V D μ = 1,184 k g m 3 ⋅ 0,0264 m s ⋅ 30 ⋅ 10 - 6 m 1,849 ⋅ 10 - 5 k g m ⋅ s = 0,0507

E lembremos sempre que, desde que R e   < <   1 , a aproximação do escoamento lento é apropriada.

Resposta

Portanto:

V = 0 , 0264 m s

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