Enunciado

12-143 Ar de uma sala a T 0   =   300   K e P 0 = 100   k P a é retirado de forma constante por uma bomba a vácuo através de um tubo adiabático com 3 cm de diâmetro, 2 m de comprimento e

um bocal convergente na entrada. O escoamento na seção do bocal pode ser considerado isentrópico. A pressão estática medida é 97 kPa na entrada do tubo e 55 kPa na saída do tubo.

Determine a vazão de ar através do duto, a velocidade do ar na saída do duto e o fator de atrito médio do duto.

Passo 1

Bora então pegar as informações do enunciado e fazer um esqueminha pra visualizar a questão melhor:

O que temos aqui é um escoamento de Fanno e queremos encontrar a vazão do ar que ta saindo da sala pelo duto, m ˙ a r , a velocidade de saída, V 2 e o fator de atrito médio, f !

Vamos nos concentrar em achar m ˙ a r primeiro!! Sabendo que:

m ˙ a r = ρ 1 A c 1 V 1

Mas não conhecemos nem ρ 1 nem V 1 !! Vamos atrás deles para calcular m ˙ a r !!!

Passo 2

Se considerarmos o comportamento do ar como gás ideal:

ρ 1 = P 1 R T 1

E vamos lembrar também que o escoamento é isentrópico, assim podemos achar T 1 :

T 1 = T 01 1 + k - 1 2   M a 1 2 - 1

Como não conhecemos M a 1 , temos que usar:

P 1 = P 01 1 + k - 1 2   M a 1 2 - k k - 1

Lembrando que para o ar k = 1,4 :

M a 1 =   97 100 - 1,4 - 1 1,4 - 1 2 1,4 - 1   1 2 = 0,2091

Agora podemos achar T 1 :

T 1 = 300 × 1 + 1,4 - 1 2   0,2091 2 - 1 = 297,4   K

Lembrando que R = 0,287   k J / k g   K , podemos calcular ρ 1 :

ρ 1 = 97 0,287 × 297,4 = 1,136   k g / m 3

Passo 3

Agora só falta V 1 !!! Lembrando que:

V 1 = M a 1 c 1

Calculamos c 1 :

c 1 = k R T 1 = 1,4 × 287 × 297,4 = 345,7   m / s

E V 1 :

V 1 = 0,2091 × 345,7 = 72,3   m / s

E finalmente vamos achar m ˙ a r :

m ˙ a r = 1,136 × π × 0,03 2 4 × 72,3  

Calculando:

m ˙ a r = 0,0581   k g / s

Uhuuuul!! Uma parte já foi!!!

Passo 4

Agora queremos V 2 !!!

A gente já conhece M a 1 e sabemos que estamos lidando com um escoamento de Fanoo de um gás ideal com k = 1,4 , então podemos usar a tabela A - 16 no final do livro para encontrar relações que vão ajudar a gente achar V 2 !!!

Na verdade é com essa tabela a gente também pode encontrar f , então dois coelhos em uma cajadada só!!!

Para M a 1 = 0,2091 :

f L * D h 1 = 13,095 ;   T 1 T * = 1,1896 ;   P 1 P * = 5,2173 ;   V 1 V * = 0,2280

Vamos usar a relação das pressões porque conhecemos P 2 e é a maneira mais fácil de chegar até M a 2 :

P 1 = 5,2173   P *

Substituindo em P 2 / P * :

P 2 P * = P 2 P 1 5,52173 = 5,2173 × 55 97 = 2,9583  

Corremos na tabela e achamos M a 2 :

M a 2 = 0,3655

E as outras relações também:

f L * D h 1 = 3,0420 ;   V 2 V * = 0,3951

Podemos achar V 2 / V 1 :

V 2 V 1 = V 2 V * V 1 V * = 0,3951 0,2280 = 1,77329

Conhecemos V 1 a gente achou ele lá atrás:

V 2 = 1,77329 × 72,3 = 125   m / s

Para encontrar f :

L = L 1 * - L 2 * = f L * D h - f L * D h D h f  

Lembrando que L = 2   m e D h = 0,03   m :

f = 13,095 - 3,042 × 0,03 2

Achamos:

f = 0,151

Aweee!!

Resposta

f = 0,151

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