Enunciado

13. A taxa de transferência de calor, por unidade de largura (normal à página), em uma seção longitudinal, x2 – x1, pode ser representada por = 12 (x2 – x1)(Ts – T∞), sendo 12 o coeficiente médio na seção de comprimento (x2 – x1). Considere escoamento laminar sobre uma placa plana com uma temperatura uniforme Ts. A variação espacial do coeficiente convectivo local tem a forma hx = Cx−1/2, sendo C uma constante.

(a) Partindo da equação da taxa convectiva na forma dq′ = hx dx(Ts – T∞), deduza uma expressão para 12 em termos de C, x1 e x2.

(b) Deduza uma expressão para 12 em termos de x1, x2 e dos coeficientes médios 1 e 2, correspondentes aos comprimentos x1 e x2, respectivamente.

Passo 1

Letra (a)

A taxa total de transferência de calor é obtida através da integração do fluxo local sobre a superfície.

Nesse sentido, temos

q = ∫ q ' ' d A s           ( 1 )

O fluxo de calor local  q ' '   é expresso como

q ' ' = h T s - T ∞       ( 2 )

Ao substituir (2) por (1), temos

q = ∫ h T s - T ∞ d A s

q = T s - T ∞ ∫ h d A s       ( 3 )

É dado que a transferência de calor ocorre ao longo de uma seção longitudinal  x 2 - x 1 . Portanto, (3) pode ser reescrito como,

q 12 = T s - T ∞ ∫ x 1 x 2 h x d x         ( 4 )

A taxa de transferência de calor da seção é expressa como

q 12 ' = h - 12 x 2 - x 1 T s - T ∞     ( 5 )

Ao equacionar a equação (4) e a equação (5), temos

T s - T ∞ ∫ x 1 x 2 h x d x = h - 12 x 2 - x 1 T s - T ∞

∫ x 1 x 2 h x d x = h - 12 x 2 - x 1

h - 12 = ∫ x 1 x 2 h x x 2 - x 1 d x       ( 6 )

O coeficiente de convecção local é h x = C x - 1 / 2   (dado)

Substituindo  h   x  em (6), temos

h - 12 = 1 x 2 - x 1 ∫ x 1 x 2 C x - 1 / 2 d x      

h - 12 = C x 2 - x 1 x - 1 2 + 1 - 1 2 + 1 x 1 x 2

Ao integrar, temos,

h - 12 = C x 2 - x 1 x - 1 2 + 1 - 1 2 + 1 x 1 x 2

Ao aplicar os limites, temos,

h - 12 = C x 2 - x 1 x 2 1 2 - x 1 1 2

Portanto, o coeficiente médio de transferência de calor é,  h - 12 = C x 2 - x 1 x 2 1 2 - x 1 1 2 .  

Passo 2

Letra (b)

A equação (5) pode ser reescrita usando as condições como,

Em x   =   x  1 ,

h - 12 = h - 1

Em x   =   x   2  ,

h - 12 = h - 2

Portanto, a equação (5) produz,

q 12 ' = h - 2 x 2 T s - T ∞ - h - 1 x 1 T s - T ∞     ( 6 )

Ao equacionar a equação (5) e a equação (6), temos,

h - 12 x 2 - x 1 T s - T ∞ = h - 2 x 2 T s - T ∞ - h - 1 x 1 T s - T ∞    

h - 12 = ( h - 2 x 2 - h - 1 x 1 ) x 2 - x 1  

Daí coeficiente médio de convecção em termos de x   1   ,   x   2   ,   h - 1   e   h - 2   é,

h - 12 = 1 x 2 - x 1 h - 2 x 2 - h - 1 x 1

Resposta

  1. h - 12 = C x 2 - x 1 x 2 1 2 - x 1 1 2
  2. h - 12 = 1 x 2 - x 1 h - 2 x 2 - h - 1 x 1
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