Enunciado

13-94 Considere o escoamento uniforme da água em um canal largo feito de concreto não polido assentado sobre uma inclinação de 0,0022. Agora a água escoa sobre uma saliência com

15 cm de altura. Se o escoamento sobre a saliência for exatamente crítico (Fr =1), determine a vazão e a profundidade de escoamento sobre a saliência por m de largura.

Passo 1

Pronto pra mais uma questão?!!

Vamos lá, a gente quer encontrar a vazão volumétrica do escoamento e a profundidade y 2 !! Não temos tantos dados como gostariamos mas vamos seguir em frente!

Primeiro a vazão:

V ˙ = a n A c R h 2 3 S o 1 2

Não conhecemos a largura do canal b , então vamos assumir b = 1   m . O raio hidráulico R h = y 1   m   e A c = y 1 b = y 1   m 2 e lembrando que a = 1   m 1 3 / s , para o concreto não polido n = 0,014 , substituindo:

V ˙ = 1 0,014 × y 1 × y 1 2 3 × 0,0022 1 2

Arrumando:

V ˙ = 3,350   y 1 5 3

Outra forma de calcular a vazão é usando a velocidade:

V ˙ = V × A c

Sabendo que A c = b × y e considerando b = 1 m :

V ˙ = V y

Esse y pode ser y 1 ou y 2 .

Não conhecemos a velocidade também! A nossa tática vai ser usar todas as equações que tivermos disponível para achar a vazão e a profundidade y 2 !!

Passo 2

O problema diz que em cima da saliência o escoamento é crítico, então:

y 2 = y c = V ˙ 2 g b 2 1 3

Para b = 1   m :

y 2 = 3,350   y 1 5 3 2 9,81 × 1 2 1 3

Arrumando:

y 2 = 1,046 y 1 10 9

Podemos calcular também:

E s 2 = E c = 3 2 y c = 3 2 1,046 y 1 10 9

Sabedo que V 1 = V ˙ / y :

E s 1 = y 1 + V 1 2 2 g = y 1 + 3,350   y 1 5 3 / y 1 2 2 × 9,81

Ficamos com:

E s 1 = y 1 + 0,5720 y 1 4 3

Passo 3

E s 1 e E s 2   são funções de y 1 , então podemos usar a seguinte relação para finalmente achar y 1 :

E s 2 = E s 1 - Δ z b

Substituindo:

1,569 y 1 10 9 = y 1 + 0,5720 y 1 4 3 - 0,15

Essa equação não parece nada fácil de resolver, heim!? Mas relaxa que vamos usar o solver do excel!

Escrevemos as duas equações, chutamos um y 1 , aqui eu chutei y 1 = 1   m e pedimos pra o excel dizer pra a gente o valor para y 1 para que os dois lados da equação sejam iguais:

Achamos y 1 = 2,95   m aproximadamente.

Passo 4

Agora podemos substituir aqui:

V ˙ = 3,350   y 1 5 3 = 3,350 × 2,95 5 3

Calculando:

V ˙ = 20,3   m 3 / s

E y 2 :

y 2 = 1,046 y 1 10 9 = 1,046 × 2,95 10 9

Calculando achamos:

y 2 = 3,48   m

Resposta

V ˙ = 20,3   m 3 / s

y 2 = 3,48   m

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