Enunciado

145 - Bactérias móveis são equipadas com flagelos que são girados por minúsculos motores eletroquímicos biológicos que, por sua vez, impulsionam a bactéria através de um líquido hospedeiro. Considere uma bactéria nominalmente esférica Escherichia coli, que tem diâmetro D   =   2   μ m . A bactéria está em uma solução aquosa a 37 ℃ contendo um nutriente que é caracterizado por um coeficiente de difusão binária de D A B = 0,7   × 10 - 9   m 2 / s e um valor energético alimentício de Ν =   16.000   k J / k g . Há uma diferença de concentração do nutriente entre o fluido e o envoltório da bactéria de Δ ρ A   =   860   ×   10 - 12   k g / m 3 . Supondo uma eficiência de propulsão de η   =   0,5 , determine a velocidade máxima da E. coli. Apresente a sua resposta em diâmetros do corpo por segundo.

Passo 1

Na Tabela A.15 (Propriedades termo físicas do ar à pressão atmosférica), obtenha as propriedades do ar a 37   ℃ .

A densidade é,

ρ a = 991   k g / m 3

A condutividade térmica do ar é,

k = 0,6262   W / m ⋅ K

A viscosidade cinemática do ar é,

v = 6,995 × 10 - 7   m 2 / s

O número de Prandlt é,

P r = 1

O coeficiente de difusão binário é,

D A B = 0,7 × 10 - 9   m 2 / s

Passo 2

Calcule o número de Reynolds.

R e D = V D v

Aqui  V é a velocidade da gota, D é o diâmetro da gota,  v é a viscosidade cinemática do ar.

R e D = 5 × 2 × 10 - 6 6,994 × 10 - 7

= 2,859

Passo 3

A energia necessária para impulsionar a bactéria.

P = F D V = C D A S ρ A , s V 2 2 × V

Consequentemente,

P = C D π D 2 ρ A , s V 3 8

Supondo que o coeficiente de arrasto para os valores mais baixos do número de Reynolds,

C D = 24 R e D

F D é a força de arrasto total,  C D é o coeficiente de arrasto,  A S é a área da bactéria,  ρ A , s é a densidade do fluido, D é o diâmetro da bactéria e  V é a velocidade.

Substituindo o valor de C D na equação da energia, temos:

P = 24 R e D × C D π D 2 ρ A , s V 3 8

= 24 2,859 × π × 2 × 10 - 6 2 × 991 × V 3 8

= 1,31 × 10 - 9   W ⋅ s 2 / m 2 × V 2

Passo 4

A eficiência da propulsão é,  n = 0,5 portanto, a energia fornecida à bactéria é,

E = P n = 1,31 × 10 - 8 × V 2 0,5 = 2,62   W ⋅ s 2 / m 2 × V 2

A energia fornecida à bactéria é:

E = h m A S N ∆ ρ A = h m × π × D 2 × N × ∆ ρ A 4

Aqui  h m é o coeficiente de transferência de massa, A S é a área da bactéria, a  ∆ ρ A é a diferença de densidade entre o fluido e a concha da bactéria, D é o diâmetro da bactéria e  N é o valor da energia dos alimentos.

2,62   W ⋅ s 2 m 2 × V 2 = h m × π × 2 × 10 - 6 m 2 × 16,000 × 10 3 J K g × 800 × 10 - 12 k g m 3 4

.

V 2 = 4,323 × 10 - 14   W ⋅ s m × h m 2,62   W ⋅ s 2 / m 2

Passo 5

De acordo com a analogia da transferência de calor e massa, calcule o coeficiente de transferência de massa da seguinte maneira:

S h D = 2 + 0,4 R e D + 0,06 R e D 0,67 × S c 0,4

  S c é o número de Schmidt.

S c = v D A B = 6,994 × 10 - 7 0,7 × 10 - 9 = 999,14

Agora, podemos calcular o coeficiente de transferência de massa.

S h D = 2 + 0,4 R e D + 0,06 R e D 0,67 × S c 0,4

S h D = 2 + 1,1436 × V + 0,1208 × V 2 3 × 15,85

= 2 + 18,157 × V + 1,92 × V 2 3

Passo 6

Número de Sherwood = Proporção de gradientes de concentração no limite por difusão e por convecção.

Portanto,

S h D = h m d D A B

Aqui  d é o diâmetro da bactéria, o  D A B é o coeficiente de difusão binária, o coeficiente de transferência de massa é h m .

h m d D A B = 2 + 18,157 × V + 1,92 × V 2 3

h m = D A B d 2 + 18,157 × V + 1,92 × V 2 3

= 0,7 × 10 - 9 2 × 10 - 6 × 2 + 18,157 × V + 1,92 × V 2 3

= 3,5 × 10 - 4 × 2 + 18,157 × V + 1,92 × V 2 3

Portanto, o coeficiente de transferência de massa em termos de velocidade é,

h m = 3,5 × 10 - 4 × 2 + 18,157 × V + 1,92 × V 2 3

Passo 7

Juntando o coeficiente do passo anterior e a equação de velocidade, temos:

V 2 = 4,323 × 10 - 14   W ⋅ s m × h m 2,62   W ⋅ s 2 / m 2

V 2 = 4,323 × 10 - 14   W ⋅ s m 2,62   W ⋅ s 2 / m 2 × 3,5 × 10 - 4 m / s × 2 + 18,157 × V + 1,92 × V 2 3

V 2 = 5,775 × 10 - 18 × 2 + 18,157 × V + 1,92 × V 2 3

V 2 = 1,155 × 10 - 17 + 1,05 × 10 - 16 × V + 1,11 × 10 - 17 × V 2 3  

Por tentativa e erro, substitua V = 70 × 10 - 6   m .

A velocidade máxima da bactéria é 70   μ m .

Resposta

V = 70   μ m

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