Enunciado

O ar ( R a r = 287   m 2 / s 2 . K ;   k = 1,4 ) contido num pneu de bicicleta está inicialmente a 200   k P a ( a b s ) e 30 º C . A válvula do pneu quebra e o ar começa a vazar. Supõe-se que a mínima seção da válvula seja a seção de saída, que tem um diâmetro de 2 m m . O ambiente está com 100   k P a e 30 º C . Admite-se que durante o vazamento a temperatura do ar do pneu se mantenha constante.

  1. A partir de que pressão do ar do pneu a vazão em massa começa a variar?
  2. Qual a vazão em massa no instante em que começa a variar?
  3. Qual a massa de ar que vazou do pneu, desde o instante do início do vazamento até o instante em que a vazão em massa começa a variar considerando que o volume interno do pneu se mantenha 6,2 x 10 - 3 m 3 aproximadamente constante?

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão.

A nossa condição inicial é de que M = 1 , pois a vazão mássica através da válvula só irá variar a partir da pressão na qual o escoamento se torna subsônico, que é quando M < 1 na menor sessão transversal.

P 0 P = 1 + k - 1 2 M 2 k k - 1

Substituindo os valores, temos que:

P 0 = 100 ⋅ 1 + 1,4 - 1 2 1 2 1,4 1,4 - 1

P 0 = 189,3   k P a

Passo 2

Primeiramente vamos calcular a velocidade do jato v c , utilizando a seguinte equação e o valor da pressão obtida no item anterior.

v c = 2 k k - 1 R T 0 1 - P c P 0 k - 1 k

Substituindo as variáveis conhecidas, temos que:

v c = 2,8 0,4 287 273 + 30 1 - 100000 189000 0,4 1,4

v c = 318,16   m / s

A densidade do ar será:

ρ 0 = P 0 R T 0

Substituindo os valores conhecidos temos que:

ρ 0 = 189000 287 30 + 273

ρ 0 = 2,1734   k g / m 3

Portanto, a vazão do ar do pneu é dada por:

Q m = A c ⋅ ρ 0 ⋅ P c P 0 k - 1 k ⋅ v c

Q m = π 2 ⋅ 10 - 3 2 4 ⋅ 2,1734 ⋅ 100000 189000 1,4 - 1 1,4 ⋅ 318,16

Q m = 1,38 ⋅ 10 - 3   k g / s

Passo 3

Podemos calcular a massa utilizando uma relação entre a massa específica e o volume:

m = ρ V

Logo:

∆ m = ρ 1 V - ρ 2 V

A densidade do ar no início do vazamento será:

ρ 1 = P 0,1 R T 0

ρ 1 = 200000 287 30 + 273

ρ 1 = 2,2998   k g / m 3

Logo:

∆ m = 2,2998 - 2,1734 6,2 ⋅ 10 - 3

∆ m = 7,87 ⋅ 10 - 4   k g

Resposta

a ) P 0 = 189,3   k P a  

b )   Q m = 1,38 ⋅ 10 - 3   k g / s

c ) ∆ m = 7,87 ⋅ 10 - 4   k g  

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