Enunciado

4.80 Suponha que a curva do Problema 4.39 seja um segmento de um canal largo no plano horizontal. A pressão na entrada é de 170 kPa (abs) e na saída, 130 kPa (abs). Determine a força requerida para manter a curva no lugar.

Passo 1

A curva do Problema 4.39 é:

Vamos escolher um volume de controle que seja exatamente a nossa figura, ou seja, entra em A1 com velocidade U e sai em A2 com velocidade V.

Vamos começar pela equação de quantidade de movimento:

F → = F → R + F → B = ∂ ∂ t ∫ V C V → ρ   d V + ∫ S C V → ρ V → ⋅ d A →

Como o escoamento é em regime permanente,

∂ ∂ t ∫ V C V → ρ   d V = 0

Vamos desprezar o peso da curva e o peso da água dentro da curva, então:

F → B = 0

A componente x da equação de quantidade de movimento fica, então:

F → R x = ∫ A 1 U ρ V → ⋅ d A →

R x + p 1 A 1 = - ρ U 2 A 1

Atenção para esse sinal de menos que aparece porque U por causa do produto escalar entre V e dA.. é aquela parada do vetor velocidade estar em sentido oposto ao vetor normal à área... um blá blá blá, mas que faz diferença.

Como está meio confuso o enunciado, vamos considerar que a seção transversal seja quadrada, em outras palavras:

A 1 = h 2

Então:

R x = - p 1 h 2 - ρ U 2 h 2

R x = - h 2 p 1 + ρ U 2

Como h = 75,5   m m = 0,0755   m , U = 7,5   m / s e ρ = 999   k g / m 3 ,

Ahhhhhhhhhhh... como é dada a pressão absoluta, precisamos descontar a pressão atmosférias, então:

p 1 = 170 - 101

p 1 = 69   k P a

Substituindo:

R x = - 0,0755 2 69000 + 999 7,5 2

R x = - 714   N

Passo 2

A componente y da equação de quantidade de movimento fica, então:

F → R y = ∫ A 2 V ρ V → ⋅ d A →

R y - p 2 A 2 = ∫ ρ V 2 d x

Como V varia com x, então não podemos tirar da integral. Achando a equação que descreve V:

Em x = h ,   V = V m í n .

Considerando que varia linearmente, (fazendo certa mágica, mas é pensável pois é uma reta decrescente)

V = - A x + B

Em x = 0 , V = V m á x , do outro enunciado temos V m á x = 2   V m í n , então:

:

2   V m í n = - A 0 + B

B = 2 V m í n

Em x = h ,   V = V m í n :

V m í n = - A h + 2 V m í n

A = V m í n h

Ficamos, então com:

V = 2   V m í n - V m í n h x  

Substituindo,

R y - p 2 A 2 = ∫ 0 h   ρ 2   V m í n - V m í n h x   2 h d x

R y - p 2 A 2 = ∫ 0 h   ρ 4 V m í n 2 - 4 V m í n 2 h x + V m í n 2 h 2 x 2   2 h d x

R y - p 2 A 2 = ρ 4 V m í n 2 x - 2 V m í n 2 h x 2 + V m í n 2 h 2 x 3 3   h 0 h  

R y - p 2 A 2 =   ρ 4 V m í n 2 h - 2 V m í n 2 h h 2 + V m í n 2 h 2 h 3 3   h

R y = p 2 A 2 +   ρ 4 V m í n 2 h - 2 V m í n 2 h + V m í n 2 h 3   h

R y = p 2 A 2 +   ρ V m í n 2 h 2 4 h - 2 h + h 3  

Como A 2 = A 1 = h 2 ,

R y = p 2 h 2 +   ρ V m í n 2 h 2 4 h - 2 h + h 3  

R y = h 2 p 2 +   ρ V m í n 2 7 h 3  

Como h = 0,0755   m , ρ = 999   k g / m 3 , V m í n = 5   m / s (da outra questão) e p 2 = 130 - 101 = 29   k P a ,

R y = 0,0755 2 29000 + 999 5 2 7 0,0755 3

R y = 498   N

A força de resistência fica, então:

F r → = - 714 i ^ + 498 j ^ N

Resposta

F r → = - 714 i ^ + 498 j ^ N

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