Enunciado

51 - A distribuição da refletividade espectral de uma tinta branca (Figura 12.22) pode ser aproximada pela seguinte função degrau:

Uma pequena placa plana revestida com essa tinta encontra-se suspensa no interior de um grande recinto e sua temperatura é mantida a 400   K . A superfície do recinto é mantida a 3000   K e a distribuição espectral de sua emissividade apresenta as seguintes características:

(a) Determine a emissividade total, ε , da superfície do recinto.

(b) Determine a emissividade total, ε , e a absortividade total, α , da placa.

Passo 1

Antes de continuarmos, precisaremos obter a fração da emissão total que é tabelada. Vamos consultar a Tabela 12.2, 'Funções de radiação do corpo negro'.

λ T = 2 × 30 00   μ m ⋅ K

λ T = 60 00   μ m ⋅ K

F 0 → 2 = 0 , 737818

Aqui, F 0 → 2   μ m   é a fração da emissão total de corpos negros na banda espectral de 0   para 2   μ m .

Passo 2

Podemos encontrar a emissividade total por meio da seguinte fórmula:

ε = ε 1 F 0 → 2 + ε 2 F 2 → ∞

Temos que [ F 2 → ∞ = 1 - F 0 → 2 , logo:

ε = ε 1 F 0 → 2 + ε 2 1 - F 0 → 2

Do enunciado, obtemos que ε 1 = 0,2 e ε 2 = 0,9 , portanto:

ε = 0,2 × 0,737818 + 0,9 × 1 - 0,737818

ε = 0,38352  

Portanto, a emissividade total é 0,3 8352 .

Passo 3

b)

A emissividade total  ( ε p ) da placa pode ser calculada usando a equação abaixo, usando os fatores de emissão da banda.

ε p = α 1 ⋅ F 0 → 0,4 + α 2 F 0 → 3 - F 0 → 0,4 + α 3 1 - F ( 0 → 3 )

Da tabela presente no enunciado, podemos obter:

α 1 = 0,75 ; α 2 = 0,15   e   α 3 = 0,96

Antes de continuarmos, precisaremos obter a fração da emissão total que é tabelada. Vamos consultar a Tabela 12.2, 'Funções de radiação do corpo negro'.

Para λ = 0,4     μ m e T = 400   K :

λ T = 0,4 × 400   μ m ⋅ K

λ T = 160   μ m ⋅ K

F 0 → 0,4 = 0

Aqui, F 0 → 0,4   μ m   é a fração da emissão total de corpos negros na banda espectral de 0   para 0,4   μ m .

E para λ = 3   μ m e T = 400   K :

λ T = 3 × 400   μ m ⋅ K

λ T = 1200   μ m ⋅ K

F 0 → 3 = 0,002134

Passo 4

Por fim, temos como finalmente calcular a emissividade total, uma vez que possuímos todas as variáveis.

ε p = α 1 ⋅ F 0 → 0,4 + α 2 F 0 → 3 - F 0 → 0,4 + α 3 1 - F ( 0 → 3 )

= 0,75 × 0 + 0,15 0,002134 - 0 + 0,96 ( 1 - 0,002134 )

ε p = 0,95827

Portanto, a emissividade total da placa é dada por 0,95827 .

Passo 5

Parecido com a forma de calcular a emissividade, temos que a absorção total da placa pode ser calcular também por meio dos fatores da emissão da banda como:

α p = α 1 ⋅ F 0 → 0,4 + α 2 F 0 → 3 - F 0 → 0,4 + α 3 1 - F ( 0 → 3 )

Antes de continuarmos, precisaremos obter a fração da emissão total que é tabelada. Vamos consultar a Tabela 12.2, 'Funções de radiação do corpo negro'.

Para λ = 0,4     μ m e T = 3000   K :

λ T = 0,4 × 3000   μ m ⋅ K

λ T = 1200   μ m ⋅ K

F 0 → 0,4 = 0

Aqui, F 0 → 0,4   μ m   é a fração da emissão total de corpos negros na banda espectral de 0   para 0,4   μ m .

E para λ = 3   μ m e T = 9000   K :

λ T = 3 × 9000   μ m ⋅ K

λ T = 18000   μ m ⋅ K

F 0 → 3 = 0,890029

Passo 6

Agora que temos todos os valores, podemos calcular a absortividade total.

α p = α 1 ⋅ F 0 → 0,4 + α 2 F 0 → 3 - F 0 → 0,4 + α 3 1 - F ( 0 → 3 )

= 0,75 × 0 + 0,15 0,890029 - 0 + 0,96 ( 1 - 0,890029 )

α p = 0,23907

Portanto, a absorção total da placa é 0,23907 .

Resposta

a) ε = 0,38352   .

b) ε p = 0,95827 e α p = 0,23907 .

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