Enunciado

5.101 Seguindo os passos para conveter a equação diferencial Eq. 5.31 (para m=1) em uma equação por diferenças (por exemplo, Eq. 5.37 para N=4), resolva

d u d x + u = 2 cos ⁡ 2 x                       0 ≤ x ≤ 1                         u 0 = 0

Para N=4, 8 e 16, e compare com a solução exata

u e x a t a = 2 5 cos ⁡ 2 x + 4 5 s e n 2 x - 2 5 e - x

Sugestão: Siga as regras para operações matriciais do Excel descritas no Problema 5.100. Apenas o lado direito das equações por diferenças mudarão, comparado ao método de solução da Eq. 5.31 (por exemplo, apenas o lado direito da Eq. 5.37 precisa de modificação).

Passo 1

Como ainda é uma equação diferencial de primeira ordem, ainda podemos usar a solução parecida com a do exemplo.

u i - u i - 1 Δ x + u i = 2 cos ⁡ ( 2 x )

u i - u i - 1 + u i Δ x = 2 cos ⁡ ( 2 x )   Δ x

- u i - 1 + 1 + Δ x u i = 2 cos ⁡ ( 2 x )   Δ x

Com:

u 0 = 0

Então o sistema de equações fica, pra N=4:

u 1 = 0

- u 1 + 1 + Δ x u 2 = 2 cos ⁡ ( 2 x )   Δ x

- u 2 + 1 + Δ x u 3 = 2 cos ⁡ ( 2 x )   Δ x

- u 3 + 1 + Δ x u 4 = 2 cos ⁡ ( 2 x )   Δ x

Passo 2

Colocando tudo no excel:

Para N=4:

Para a matriz dos resultados que vai usar o =mmult, para multiplicar a matriz inversa com a ultima coluna da matriz dos coeficientes.. aí acha o resultado...

Passo 3

Para N=8:

Passo 4

Para N=16:

Passo 5

Resposta

São todas tabelas

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