Enunciado

5.40 Considere o campo de escoamento dado por V → = a x 2 y i ^ - b y j ^ + c z 2 k ^ , em que a = 2   m - 2 s - 1 , b = 2   s - 1 e c = 1   m - 1 s - 1 . Determine (a) o número de dimensões do escoamento,

(b) se ele é possível escoamento incompressível e (c) a aceleração de uma partícula fluida no ponto x , y , z = ( 2,1 , 3 ) .

Passo 1

(a) Como depende de x , y e z , três dimensões.

Passo 2

(b) Vamos começar pela equação da continuidade

∂ ρ u ∂ x + ∂ ρ v ∂ y + ∂ ρ w ∂ z + ∂ ρ ∂ t = 0

Considerando regime permanente

∂ ρ ∂ t = 0

Ficamos, então, com

∂ ρ u ∂ x + ∂ ρ v ∂ y + ∂ ρ w ∂ z = 0

Para escoamento incompressível, podemos tirar o ρ de dentro da derivada

ρ ∂ u ∂ x + ∂ v ∂ y + ∂ w ∂ z = 0

Simplificando, ficamos com

∂ u ∂ x + ∂ v ∂ y + ∂ w ∂ z = 0

Substituindo u = a x 2 y , v = - b y e w = c z 2

∂ a x 2 y ∂ x + ∂ - b y ∂ y + ∂ c z 2 ∂ z = 0

2 a x y - b + 2 c z = 0

Como a = 2   m - 2 s - 1 , b = 2   s - 1 e c = 1   m - 1 s - 1

2 2 x y - 2 + 2 1 z ≠ 0

Como não satisfaz a equação, então não pode ser incompressível.

Passo 3

(c) Para a aceleração da partícula

a → p = u ∂ V → ∂ x + v ∂ V → ∂ y + w ∂ V → ∂ z + ∂ V → ∂ t

Como admitimos regime permanente

a → p = u ∂ V → ∂ x + v ∂ V → ∂ y + w ∂ V → ∂ z

Calculando as derivadas parciais

∂ V → ∂ x = 2 a x y   i ^

∂ V → ∂ y = - b   j ^

∂ V → ∂ z = 2 c z   k ^

Como u = a x 2 y , v = - b y e w = c z 2

a → p = a x 2 y 2 a x y   i ^ + - b y - b   j ^ + c z 2 2 c z   k ^

a → p = 2 a 2 x 3 y 2   i ^ + b 2 y   j ^ + 2 c 2 z 3   k ^

No ponto x , y , z = 2,1 , 3

a → p = 2 a 2 2 3 1 2   i ^ + b 2 1   j ^ + 2 c 2 3 3   k ^

Como a = 2   m - 2 s - 1 , b = 2   s - 1 e c = 1   m - 1 s - 1

a → p = 2 2 2 2 3 1 2   i ^ + 2 2 1   j ^ + 2 1 2 3 3   k ^

a → p = 64   i ^ + 4   j ^ + 54   k ^

Calculando o módulo

a → p = 64 2 + 4 2 + 54 2

a → p = 83,83   m / s 2

Resposta

(a) três dimensões

(b) não pode ser incompressível

(c) a → p = 83,83   m / s 2

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