Enunciado

5.50 Como uma das etapas de um estudo sobre poluição, um modelo de concentração c em função da posição x foi desenvolvido, em que a concentração é dada por c x = A e - x 2 a - e - x a , em que A = 3 × 10 - 5   p p m (parte por milhão) e a = 1   m . Trace o gráfico desta concentração desde x = 0 até x = 10   m . Se um veículo com um sensor de poluição viaja através desta atmosfera a u = U = 20   m / s ) , desenvolva uma expressão para a taxa de concentração medida de mudança de c com o tempo, e trace um gráfico usando esses dados.

(a) Em qual localização o sensor indicará a maior taxa de mudança?

(b) Qual é o valor dessa taxa de mudança?

Passo 1

O gráfico desta concentração (usando o Geogebra): c x = A e - x 2 a - e - x a

Passo 2

Considerando que só há variação da concentração em x, Vamos usar derivada substantiva para achar a taxa:

D c D t = u d c d x

D c D t = U A - 1 2 a e - x 2 a - - 1 a e - x a

D c D t = U A a e - x a - 1 2 e - x 2 a

Mas a variação tem que ser com tempo e não com x. Podemos escrever:

x = U t

Então:

D c D t = U A a e - U t a - 1 2 e - U t 2 a

O gráfico da taxa:

Passo 3

(a) Aqui nós temos um probleminha com o que ele pede. Como dá pra ver no gráfico da taxa, não tem um ponto de máximo, mas um ponto de mínimo. Se a gente derivar a taxa e igualar a zero, nós não vamos achar a taxa máxima, mas sim a mínima. Mas é razoável ver quer a taxa máxima é em t = 0 e nesse caso o x também seria zero.

Faria mais sentido perguntar onde é a concentração máxima (o gráfico da conentração tem um ponto de máximo). Vamos calcular qual é esse ponto de máximo e onde é.

D c D t = U A a e - x a - 1 2 e - x 2 a = 0

e - x a - 1 2 e - x 2 a = 0

e - x a = 1 2 e - x 2 a

2 e - x a = e - x 2 a

ln ⁡ ( 2 e - x a ) = ln ⁡ e - x 2 a

ln ⁡ 2 + ln ⁡ e - x a = ln ⁡ e - x 2 a

ln ⁡ 2 - x a ln ⁡ e = - x 2 a ln ⁡ e

ln ⁡ 2 - x a = - x 2 a

Como a = 1   m ,

ln ⁡ 2 - x = - x 2

x - x 2 = ln ⁡ 2

x 2 = ln ⁡ 2

x = 2 ln ⁡ 2

x = 1.4   m

Se formos olhar no gráfico de concentração faz bastante sentido.

(b) O valor dessa concentração é:

c 1,4 = 0,00003 e - 1,4 2 - e - 1,4

c 1,4 = 7,5 × 10 - 6   p p m

Resposta

(a) x = 1.4   m

(b) c 1,4 = 7,5 × 10 - 6   p p m

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