Enunciado

5.61 Mostre que o campo de velocidade do Problema 2.18 representa um possível campo de escoamento incompressível. Determine e trace a linha de corrente passando pelo ponto (x,y)=(2,4) em t=1,5 s. Para a partícula no mesmo ponto e instante, mostre, sobre o gráfico, o vetor velocidade e os vetores representando as acelerações total, local e convectiva.

Passo 1

O campo de velocidade é dado por V → = a x i ^ - a y j ^ 2 + c o s   ω t , em que a = 5   s - 1 , ω = 2 π   s - 1 , x e y medidos em metros.

Vamos começar pela equação da continuidade

∂ ρ u ∂ x + ∂ ρ v ∂ y + ∂ ρ w ∂ z + ∂ ρ ∂ t = 0

Para incompressível, podemos tirar o ρ de dentro da derivada e ∂ ρ ∂ t = 0

ρ ∂ u ∂ x + ∂ v ∂ y + ∂ w ∂ z = 0

Simplificando, ficamos com

∂ u ∂ x + ∂ v ∂ y + ∂ w ∂ z = 0

Como não tem componente em z

∂ w ∂ z

Então, ficamos com

∂ u ∂ x + ∂ v ∂ y = 0

Sendo u = 2 + c o s   ω t a x e v = - 2 + c o s   ω t a y

∂ 2 + c o s   ω t a x i ^ )   ∂ x + ∂ - 2 + c o s   ω t a y ∂ y = 0

2 a + ( cos ⁡ ω t ) a - 2 a - ( cos ⁡ ω t ) a = 0

0 = 0

Como satisfaz a equação, então é um possível escoamento incompressível.

Passo 2

Pela definição de linha de corrente

d y d x = v u

d y d x = - 2 + c o s   ω t a y 2 + c o s   ω t a x

d y d x = - y x

Separando as variáveis e integrando

d y y = - d x x

∫ d y y = - ∫ d x x

ln ⁡ y = - ln ⁡ x + K

Manipulando matemáticamente

ln ⁡ y + ln ⁡ x = K

ln ⁡ x y = K

x y = e K

Onde K é constante

Chamando e K = C

x y = C

No ponto (x,y)=(2,4)

C = 2 4

C = 8

A linha de corrente

x y = 8

Passo 3

Ainda no ponto (x,y)=(2,4) e em t = 1,5   s .

Com a = 5   s - 1 , ω = 2 π   s - 1

V → = a x i ^ - a y j ^ 2 + c o s   ω t

V → = 5 2 i ^ - 5 4 j ^ 2 + c o s   2 π 1,5

V → = 10 i ^ - 20 j ^ m / s  

Para a aceleração

a → p = u ∂ V → ∂ x + v ∂ V → ∂ y + w ∂ V → ∂ z + ∂ V → ∂ t

Como não tem componente z

w ∂ u ∂ z = 0

Sendo assim

a → p = u ∂ V → ∂ x + v ∂ V → ∂ y + ∂ V → ∂ t

Para a aceleração local

a → p , l o c a l = ∂ V → ∂ t

a → p , l o c a l = ∂ a x i ^ - a y j ^ 2 + c o s   ω t ∂ t

a → p , l o c a l = ∂ 2 a x i ^ + a x cos ⁡ ω t i ^ - 2 a y j ^ - a y cos ⁡ ω t j ^ ∂ t

a → p , l o c a l = - a ω x sen ⁡ ω t i ^ + a ω y sen ⁡ ω t j ^

a → p , l o c a l = - 5 2 π 2 sen ⁡ 2 π 1,5 i ^ + 5 2 π 4 sen ⁡ 2 π 1,5 j ^

a → p , l o c a l = 0 i ^ + 0 j ^   m / s 2

Para a aceleração convectiva

a → p , c o n v e c = u ∂ V → ∂ x + v ∂ V → ∂ y

Calculando as derivadas parciais

∂ V → ∂ x = 2 a + a cos ⁡ ω t i ^

∂ V → ∂ y = - 2 a + a cos ⁡ ω t j ^

Sendo u = 2 + c o s   ω t a x e v = - 2 + c o s   ω t a y

a → p , c o n v e c = 2 + c o s   ω t a x   2 a + a cos ⁡ ω t i ^ + - 2 + c o s   ω t a y - 2 a + a cos ⁡ ω t j ^

a → p , c o n v e c = 4 a 2 x + 2 a 2 x   cos ⁡ ω t + 2 a x   c o s   ω t + a 2 x c o s   ω t 2 i ^

+ ( 4 a 2 y + 2 a 2 y  cos ⁡ ω t + 2 a 2 y   cos ⁡ ω t + a 2 y   cos ⁡ ω t ) j ^

a → p , c o n v e c = 4 a 2 x + 4 a 2 x   cos ⁡ ω t + a 2 x c o s   ω t 2 i ^ + ( 4 a 2 y + 4 a 2 y   cos ⁡ ω t + a 2 y   cos ⁡ ω t ) j ^

a → p , c o n v e c = a 2 x 4 + 4 cos ⁡ ω t + c o s   ω t 2 i ^ + a 2 y ( 4 + 4 cos ⁡ ω t +   cos ⁡ ω t ) j ^

a → p , c o n v e c = a 2 x 2 + cos ⁡ ω t 2 i ^ + a 2 y 2 + cos ⁡ ω t 2 j ^

a → p , c o n v e c = 5 2 2 2 + cos ⁡ 2 π 1,5 2 i ^ + 5 2 2 2 + cos ⁡ 2 π 1,5 2 j ^

a → p , c o n v e c = 50 i ^ + 100 j ^   m / s 2

Para a aceleração total

a → p = a → p , l o c a l + a → p , c o n v e c

a → p = 50 i ^ + 100 j ^   m / s 2

Resposta

x y = 8

V → = 10 i ^ - 20 j ^ m / s  

a → p = 50 i ^ + 100 j ^   m / s 2

a → p , l o c a l = 0 i ^ + 0 j ^   m / s 2

a → p , c o n v e c = 50 i ^ + 100 j ^   m / s 2

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