Enunciado

5.57 Um campo de velocidade é representado pela expressão V → = A x - B i ^ - A y j ^ , em que A = 0,2   s - 1 , B = 0,6   m   s - 1 e as coordenadas são medidas em metros. Obtenha uma expressão geral para a aceleração da partícula neste campo de velocidade. Calcule a aceleração das partículas fluidas nos pontos (0,4/3), (1,2) e (2,4). Trace algumas linhas de corrente no plano xy. Mostre os vetores de aceleração sobre o gráfico das linhas de corrente.

Passo 1

Para a aceleração da partícula

a → p = u ∂ V → ∂ x + v ∂ V → ∂ y + w ∂ V → ∂ z + ∂ V → ∂ t

Como não depende de z e admitimos regime permanente

a → p = u ∂ V → ∂ x + v ∂ V → ∂ y

Calculando as derivadas parciais

∂ V → ∂ x = A i ^

∂ V → ∂ y = - A j ^

Como u = A x - B e v = - A y

a → p = A x - B   A i ^ + - A y - A j ^

a → p = A 2 x - A B i ^ + A 2 y j ^

Passo 2

No ponto (0,4/3):

a → p ( 0,4 / 3 ) = A 2 0 - A B i ^ + A 2 4 3 j ^

a → p ( 0,4 / 3 ) = - A B i ^ + A 2 4 3 j ^

No ponto (1,2):

a → p 1,2 = A 2 1 - A B i ^ + A 2 2 j ^

a → p 1,2 = A 2 - A B i ^ + 2 A 2 j ^

No ponto (2,4):

a → p 2,4 = A 2 2 - A B i ^ + A 2 4 j ^

a → p 2,4 = 2 A 2 - A B i ^ + 4 A 2 j ^

Passo 3

Pela definição de linhas de corrente

d y d x = v u

d y d x = - A y A x - B

Separando as variáveis e integrando

d y A y = - d x A x - B

∫ d y A y = - ∫ d x A x - B

1 A ln ⁡ A y = - 1 A ln ⁡ A x - B + K

Onde K é constante.

Manipulando matemáticamente

1 A ln ⁡ y + 1 A ln ⁡ A x - B = K

1 A   ln ⁡ y + ln ⁡ A x - B = K

ln ⁡ y + ln ⁡ A x - B = K A

ln ⁡ ( y A x - B )   = K A

A A x - B = e K A

Vamos chamar e K A = C

y A x - B = C

Resposta

a → p = A 2 x - A B i ^ + A 2 y j ^

a → p ( 0,4 / 3 ) = - A B i ^ + A 2 4 3 j ^

a → p 1,2 = A 2 - A B i ^ + 2 A 2 j ^

a → p 2,4 = 2 A 2 - A B i ^ + 4 A 2 j ^

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