Enunciado

A componente x da velocidade em um campo de escoamento incompressível, bidimensional é dada por υ   =   - A x y , em que v é em m/s, as coordenadas são medidas em metros e A   =   1   m - 1 s - 1 . Não há componente ou variação de velocidade na direção z. Calcule a aceleração de uma partícula fluida no ponto (x, y) = (1, 2). Estime o raio de curvatura da linha de corrente que passa por este ponto. Trace a linha de corrente e mostre os vetores velocidade e aceleração no gráfico. (Considere a forma mais simples da componente da velocidade em x.)

Passo 1

Pessoal, temos um escoamento em 2D e incompressível, além do campo de velocidade. Então, vamos usar a equação 5.3 do livro, que aborda a equação da continuidade para estas condições:

∂ u ∂ x + ∂ v ∂ y = 0

Onde:

v = - A x y

Substituindo os valores, temos:

∂ u ∂ x + ∂ ( - A x y ) ∂ y = 0

∂ u ∂ x - A x = 0

∂ u ∂ x = A x

A velocidade em x (u), pode ser encontrada pela expressão:

d u = ∂ u ∂ x d x

Substituindo e integrando, temos:

u = ∫ A x d x

u = A x 2 2 + f ( y )

Onde f(y) é uma função apenas de y, isto é, ela é como se fosse a constante da integral. Como o enunciado não cita nada sobre esta função, vamos escolher a mais simples:

f y = 0

Podemos então escrever a expressão do campo de velocidade:

V → = A x 2 2 i ^ - A x y   j ^

No ponto (1,2), o vetor velocidade vale:

V → = ( 1 ) 1 2 2 i ^ - 1 ( 1 ) ( 2 )   j ^

V → = 0,5 i ^ - 2   j ^   m / s

Passo 2

A equação da aceleração da partícula é dada pela equação:

a p = D V → D t = u ∂ V → ∂ x + v ∂ V → ∂ y + w ∂ V → ∂ z + ∂ V → ∂ t

Podemos simplificar a expressão, pois não há componente de velocidade em z vamos considerar que não há aceleração local. Ficamos então com:

a p → = u ∂ V → ∂ x + v ∂ V → ∂ y

Substituindo os valores, temos:

a p → = A x 2 2 ∂ A x 2 2 i ^ - A x y   j ^ ∂ x + - A x y ∂ A x 2 2 i ^ - A x y   j ^ ∂ y

a p → = A x 2 2 ( A x i ^ - A y j ^ ) + - A x y ( - A x j ^ )

a p → = A 2 x 3 2 i ^ + A 2 x 2 y 2 j ^

No ponto (1,2), o vetor aceleração vale:

a p → = ( 1 2 ) 1 3 2 i ^ + 1 2 1 2 2 2 j ^

a p → = 0,5 i ^ + 1 j ^   m / s 2

Passo 3

Para encontrar o raio de curvatura da linha de corrente, vamos usar o conceito da aceleração normal:

a n = - V 2 R = a → ∙ e ^ n

Onde e ^ n é o vetor unitário normal. Para encontra-lo, vamos usar o conceito do vetor tangencial, uma vez que eles são perpendiculares. Temos então:

e ^ n = e ^ t × k ^

O vetor unitário tangencial possui mesma direção do vetor velocidade. Portanto, usamos a expressão:

e ^ t = V → V = 0,5 i ^ - 2   j ^ 0,5 2 + 2 2 = 0,243 i ^ - 0,970   j ^

Substituindo, temos:

e ^ n = ( 0,243 i ^ - 0,970   j ^ ) × k ^

e ^ n = - 0,970 i ^ - 0,243 j ^

Voltando para a equação da aceleração normal:

a n = a → ∙ e ^ n

a n = ( 0,5 i ^ + 1 j ^ ) ∙ ( - 0,970 i ^ - 0,243 j ^ )

a n = - 0,485 - 0,243 = - 0,728   m / s 2

a n = - V 2 R

- 0,728 = - 0,5 2 + 2 2 R

R = 5,84   m

Passo 4

A inclinação da linha de corrente é dada por:

d y d x = v u = - A x y A x 2 2 = - 2 y x

Temos então a expressão:

d y d x = - 2 y x

d y y + 2 d x x = 0

Integrando, temos:

ln ⁡ y + ln ⁡ x 2 = ln ⁡ C

ln ⁡ y x 2 = ln ⁡ C

Aplicando a exponencial, temos:

y x 2 = C

No ponto (1,2), temos:

y x 2 = 2

Esboçando um gráfico, ficamos com:

Resposta

V → = 0,5 i ^ - 2   j ^   m / s

a p → = 0,5 i ^ + 1 j ^   m / s 2

R = 5,84   m

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