Enunciado

5.89 Considere um escoamento em regime permanente, laminar, incompressível, completamente desenvolvido, entre placas planas infinitas, comforme mostrado. O escoamento ocorre devido ao movimento da placa esquerda bem para como de um gradiente de pressão que é aplicado na direção y. Dadas as condições de que V → ≠ V → z , w=0, e que a aceleração gravitacional age na direção negativa de y, prove que u=0 e que o gradiente de prssão na direção y deve ser constante.

Passo 1

Como foi dado que V → ≠ V → z , isso significa que:

∂ u ∂ z = ∂ v ∂ z = ∂ w ∂ z = 0

Como foi dado que o escoamento é completamente desenvolvido, que significa que V → ≠ V → z , então:

∂ u ∂ y = ∂ v ∂ y = ∂ w ∂ y = 0

E regime permanente significa que V → ≠ V → t .

A equação da continuidade fica, então:

∂ u ∂ x = 0

Mas, como u só depende de x:

d u d x = 0

Integrando, encontramos que:

u = c o n s t a n t e

Como a condição de contorno na parede é que a velocidade é igual a zero, então:

u = 0

Como queríamos demonstrar.

Passo 2

Como u = 0 e a gravidade está no sentido negativo da direção y, a componente x da equação de Navier-Stokes fica:

∂ P ∂ x = 0

Então P ≠ P ( x ) .

Como w = 0 e a gravidade está no sentido negativo da direção y, a componente z da equação de Navier-Stokes fica:

∂ P ∂ z = 0

Então P ≠ P ( z ) .

A componente y da equação de Navier-Stokes fica:

0 = - ∂ P ∂ y - ρ g + μ ∂ 2 v ∂ x 2

Então:

∂ P ∂ y = - ρ g + μ ∂ 2 v ∂ x 2

Como também foi adotado regime permanente, então P só pode ser função de y ou constante. Porém olhando o lado direito da equação é razoável perceber que v ou é constante ou depende de x.

Mas matemáticamente é impossível uma função de y ser igual a uma função de x. Logo, só pode ser constante.

∂ P ∂ y = c o n s t a n t e

Resposta

u = 0

∂ P ∂ y = c o n s t a n t e

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