Enunciado

5.85 Considere o escoamento induzido por pressão entre placas paralelas e estacionárias, separadas pela distância b. A coordenada y é medida a partir da placa inferior. O campo de velocidade é dado por u = U y b 1 - y b . Obtenha uma expressão para a circulação sobre o contorno fechado de altura h e comprimento L. Avalie para h=b/2 e para h=b. Mostre que o mesmo resultado é obtido a partir da integral da área do Teorema de Stokes (Eq. 5.18).

Passo 1

Considerando estado estacionário.

Da definição de circulação,

Γ = ∮ V → ⋅ d s →

Podemos dividir a integral:

Γ = ∫ 1 V → ⋅ d s → + ∫ 2 V → ⋅ d s → + ∫ 3 V → ⋅ d s → + ∫ 4 V → ⋅ d s →

Como:

V → ⋅ d s → = U y b 1 - y b i ^ ⋅ d x i ^ + d y j ^

V → ⋅ d s → = U y b 1 - y b d x

Então:

Γ = ∫ 0 L U 0 b 1 - 0 b d x + ∫ L 0 U h b 1 - h b d x  

Γ = - U L h b 1 - h b

Passo 2

Para h = b / 2 :

Γ = - U L b / 2   b 1 - b / 2 b

Γ = - U L 4

Para h = b :

Γ = - U L b   b 1 - b b

Γ = 0

Resposta

Γ = - U L h b 1 - h b

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