Enunciado

80 – A bela expressão para a sustentação de um aerofólio bidimensional, eq. 8.72, surge da aplicação da transformação de Joukowski,

ζ = z + a 2 z

Em que,

z = x + i y ;   ζ = η + i β

A constante a é uma escala de comprimento. A teoria transforma um certo círculo no plano z em um aerofólio no plano ζ. Fazendo a = 1 por conveniência, mostre que (a) um círculo com centro na origem e raio>1 se torna uma elipse no plano ζ e (b) um círculo com centro

x   =   - є ≪ 1 ; y = 0

E, raio (1+є) se torna um formato de aerofólio no plano ζ.

Sugestão: a planilha Excel é excelente para resolver este problema.

Passo 1

Vamos começar introduzindo a expressão de z dentro da transformação de Joukowski para encontrar as partes real e imaginaria da equação:

ζ = z + a 2 z

Sendo

z = x + i y ; a = 1

Substituindo

ζ = x + i y + 1 x + i y         E q 1

Passo 2

Para eliminarmos a parte imaginaria do dividendo no segundo termo depois da igualdade da Eq.1, vamos fazer o seguinte:

ζ = x + i y + 1 x + i y x - i y x - i y

Assim,

ζ = x + i y + 1 ( x + i y ) ( x - i y ) x - i y           E q 2

Vamos resolver a seguinte relação:

x + i y x - i y = x 2 - x i y + x i y - i 2 y 2

Lembrando que o número imaginário i é dado por:

i 2 = - 1

Assim,

x + i y x - i y = x 2 + y 2

Substituindo na Eq2:

ζ = x + i y + 1 x 2 + y 2 x - i y

Passo 3

Vamos agora separar as partes real e imaginaria da equação anterior:

ζ = x + i y + 1 x 2 + y 2 x - i y = x + i y + 1 x 2 + y 2 x - 1 x 2 + y 2 i y

Assim,

ζ = x + 1 x 2 + y 2 x + i y - 1 x 2 + y 2 i y

Colocando em evidência os termos de x e iy:

ζ = x 1 + 1 x 2 + y 2 + i y 1 - 1 x 2 + y 2         E q 3

Passo 4

Sendo que a transformação de Joukowski é também escrita como:

ζ = η + i β

Assim, em comparação com a Eq3 vamos chegar que:

Parte Real:

η = x 1 + 1 x 2 + y 2

Parte Imaginária:

β = y 1 - 1 x 2 + y 2

Vamos relembrar que para um círculo, a sua equação é dada por:

C 2 = x 2 + y 2

Assim,

η = x 1 + 1 C 2

β = y 1 - 1 C 2

Passo 5

Vamos agora ao plote dos gráficos pelo EXCEL:

O gráfico obtido é:

A)

Círculo e elipse:

B)

Círculo e aerofólio:

Resposta

A)

Círculo e elipse:

B)

Círculo e aerofólio:

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