Enunciado

PP10.2 – A barragem Caroselli no Rio Pawcatuck tem 3 m de altura, 27,4 m de largura e a borda aguda. A companhia Coakey usa essa altura para gerar potência hidrelétrica e quer mais potência. Eles solicitaram permissão ao município para elevar a barragem. Acima da barragem, o rio pode ser aproximado como retangular, de 27,4 m de largura com declividade a montante de 2,27 m por quilômetro e com um leito pedregoso. A vazão média é de 11,33 m3/s, com uma vazão de cheia prevista a cada 30 anos de 34 m3/s. As margens do rio são íngremes até 1,6 km a montante, onde existem moradias na parte baixa. O conselho municipal concorda com a elevação da barragem, desde que o novo nível do rio, perto dessas casas, durante a cheia de 30 anos, não ultrapasse em 0,91 m o nível atual durante as condições de vazão média. Você, como engenheiro de projetos, deve prever quanto a crista da barragem pode ser elevada e ainda satisfazer esse requisito.

Passo 1

Vamos considerar a barragem com sendo um tipo de vertedouro, então poderemos trabalhar com as equações associadas a vertedouros para avaliarmos os cálculos do projeto dessa nova barragem. Vamos então calcular o nível atual do rio para a vazão média e com esse valor vamos determinar em seguida qual dever ser o valor máximo da crista que pode ser implementada para satisfazer a especificação.

Passo 2

Vamos relembrar que a Eq. de projeto de um vertedouro é dado pela eq. 10.55 do White, cuja expressão é:

Q = C d b g H 1,5       E q 1

Onde, CD é o coeficiente de descarga do vertedouro e este coeficiente é dado por:

C d = 0,564 + 0,0846 H Y

Onde, para ser válido a equação da vazão, deve-se seguir a seguinte relação:

H Y ≤ 2

Sendo,

Y = 3   m

C d = 0,564 + 0,0846 H 3 = 0,546 + 0,0288 H

Substituindo na Eq1:

Q = ( 0,546 + 0,0288 H ) b g H 1,5

Isolando um dos termos de H:

H 1,5 = Q 0,546 + 0,0288 H b g

H = Q 0,546 + 0,0288 H b g 2 3

Passo 3

Aplicando os valores:

H = 11,33 0,546 + 0,0288 H ( 27,4 ) 9,81 2 3

H = 0,26 1 0,546 + 0,0288 H 2 3

Resolvendo por iterações, com chute inicial de H0 = 1 m:

Após duas iterações:

H = 0,38   m

Sendo que a profundidade do rio logo a montante da barragem é definida por:

y = H + Y

Assim,

y = 0,38   m + 3   m = 3,38   m

Passo 4

Vamos agora calcular a profundidade do rio para a vazão média, usando a eq. 10.51 do White, que é:

d y d x = S - n 2 Q 2 A - 2 R h - 4 3     1 - Q 2 b ( g - 1 A - 3 )

Onde,

A = 8 y ; n = 0,025 ;   R h = 4 y 4 + y

Para a declividade S que é de 2,27 m por quilômetro, assim

S = 2,27 x

Assim, substituindo as relações

d y d x = 2,27 x - n 2 Q 2 8 y - 2 4 y 4 + y - 4 3 1 - Q 2 b g - 1 8 y - 3

Aplicando os valores já conhecidos:

d y d x = 2,27 x - 0,001254 y - 2 4 y 4 + y - 4 3 1 - 0,7 y - 3

Passo 5

Vamos resolver essa equação diferencial usando o método de Runge-Kutta, resolvendo utilizando o EXCEL.

Pelo método de Runge-Kutta:

y n + 1 = y n + h 6 k 1 + 2 k 2 + 2 k 3 + k 4

Onde, h é o passo que seria para este caso:

h = - ∆ x

Onde,

x = n ∆ x

Vamos selecionar um passo de 100 m.

∆ x = - 10   m = - 0,01   k m

As funções k são

k 1 = f ( x n , y n )

k 2 = f x n + h 2 ,   y n + h 2 k 1

k 3 = f x n + h 2 ,   y n + h 2 k 2

k 4 = f x n + h ,   y n + h k 3

Sendo a função f definida pela equação diferencial

f = d y d x = 2,27 x - 0,001254 y - 2 4 y 4 + y - 4 3 1 - 0,7 y - 3

Para a condição inicial temos que:

x 0 = 0 ;   y 0 = 3,376   m

A solução será, para x = 1,6 km a montante da barragem:

y = 0,9   m

Assim, o valor limite para a profundidade é:

y = 0,9   m + 0,91   m = 1,81   m

Passo 6

Precisamos agora achar o novo valor de y0 que é o valor da profundidade logo a montante da barragem. Usando o mesmo método de Runge-Kutta, mas agora de trás para frente, vamos obter que

y 0 = 5,6   m

Portanto, usando a relação entre os parâmetros da barragem

Y + H = y

Y = y - H

Y = 5,6   m - 0,38   m

Y = 5,22   m

Portanto a barragem pode ser elevada em

5,22 m - 3 m = 2,2   m

Resposta

A barragem pode ser elevada em

E l e v a ç ã o = 2,2   m

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