Enunciado

Admita que o foguete da Figura E3.12 inicie o movimento em z = 0 , com velocidade de saída e vazão em massa de saída constantes, e suba verticalmente com força de arrasto zero. (a) Mostre que, enquanto a queima do combustível continuar, a altura vertical S ( t ) alcançada é dada por

S = V e M o m ˙ ζ ln ⁡ ζ - ζ + 1 ,   e m   q u e   ζ = 1 - m ˙ t M o

(b) Aplique isso ao caso em que V e = 1500   m / s   e   M 0 = 1000   k g para encontrar a altura alcançada após a queima por 30 segundos, quando a massa final do foguete é de 400 kg.

Passo 1

Simbora resolver essa questão, vai ser tranquilo!

Bora pra essa (a)! Cara, vamos ignorar aqui o efeito da gravidade, beleza?! Bora integrar a equação da velocidade dada no E3.12, assim:

S t = ∫ V t d t = ∫ 0 t - V e ln ⁡ 1 - m ˙ t M 0 d t

Lembrando que, ζ = 1 - m ˙ t / M 0 , disso teremos que, d ζ = - m ˙ M 0 d t , substituindo na integral, teremos:

S t = - V e - M 0 m ˙ ∫ 1 ζ ( ζ ln ⁡ ζ ) d ζ = V e M 0 m ˙ ζ ln ⁡ ζ - ζ 1 ζ = V e M 0 m ˙ [ ζ ln ⁡ ζ - ζ + 1 ]

Passo 2

Beleza, mostramos como chegar na equação desejada! Agora bora substituir os dados nela! Encontrando, inicialmente, nossa vazão mássica:

m ˙ = Δ M Δ t = 1000   k g - 400   k g 30   s = 20   k g / s

Encontrando nosso ζ ,

ζ = 1 - 20 k g s 30   s 1000   k g = 0,40

Substituindo agora na expressão que encontramos em (a):

S t = 30   s = 1500 m s 1000   k g 20 k g s 0,40 ln ⁡ 0,40 - 0,40 + 1 = 17500   m

Resposta

(b) 17500 m

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