Enunciado

Água a 10 ° C ( ρ = 999,7   k g / m 3 e μ = 1,307 ⋅ 10 - 3   k g /   m ⋅ s ) escoa estacionariamente em um tubo com 0,20   c m de diâmetro e 15   m de comprimento a uma velocidade média de 1,2   m / s . Determine (a) a queda de pressão, (b) a perda de carga e (c) o requisito de potência de bombeamento para superar essa queda de pressão.

Passo 1

A questão pede primeiro para a gente calcular a queda de pressão Δ P através do tubo. O primeiro passo para calcular o Δ P da água através do tubo é calcular o número de Reynolds R e do escoamento. Se o escoamento for laminar, usaremos uma fórmula para Δ P , se ele for turbulento, usaremos outra. A equação do número de Reynolds segue abaixo.

R e = ρ ⋅ V m é d ⋅ D μ

onde ρ é a densidade do fluido (que vale 999,7   k g / m 3 ), μ é a viscosidade do fluido (que vale 1,307 ⋅ 10 - 3   k g /   m ⋅ s ), D (que vale 0,20   c m ou 0,002   m ) é o diâmetro do tubo e V m é d é a velocidade média do escoamento (que vale 1,2   m / s ).

Substituindo os dados na fórmula de R e , achamos:

R e = ρ ⋅ V m é d ⋅ D μ       ⟹       R e = 999,7 ⋅ 1,2 ⋅ 0,002 1,307 ⋅ 10 - 3       ⟹       R e = 1836

Quando o R e é menor que 2300 , o escoamento é laminar. Quando R e é maior que 40 00 , ele é turbulento. Vemos que no nosso caso, R e é menor que 2300 . Logo o escoamento da água é laminar.

Passo 2

Podemos calcular Δ P de um escoamento laminar, reorganizando a equação de V m é d presente no livro (equação 8-26 do livro).

V m é d = Δ P ⋅ D 2 32 ⋅ μ ⋅ L       ⟹       Δ P = V m é d ⋅ 32 ⋅ μ ⋅ L D 2

onde L é o comprimento do tubo (que vale 15   m ).

Substituindo os dados nessa fórmula, encontramos o valor de Δ P .

Δ P = V m é d ⋅ 32 ⋅ μ ⋅ L D 2     ⟹     Δ P = 1,2 ⋅ 32 ⋅ 1,307 ⋅ 10 - 3 ⋅ 15 0,002 2     ⟹     Δ P = 188208   P a

Passo 3

Sabendo quanto vale Δ P , a questão pede agora para a gente calcular a perda de carga h L do escoamento do tubo. A fórmula para calcular h L em função de Δ P é mostrada abaixo (equação 8-24).

h L = Δ P ρ ⋅ g

Substituindo os valores que temos nessa equação, encontramos:

h L = Δ P ρ ⋅ g       ⟹       h L = 188208 999,7 ⋅ 9,81       ⟹       h L = 19,19   m

Passo 4

Por fim, o problema pede para a gente calcular o requisito de potência de bombeamento W ˙ para superar essa queda de pressão que calculamos Δ P = 188208   P a . A equação de potência de bombeamento segue abaixo.

W ˙ = V ˙ ⋅ Δ P

onde V ˙ é a vazão volumética de água através do tubo. Ela é igual à velocidade média V m é d multiplicada pela área da seção transversal do tubo ( A vale π ⋅ D 2 / 4 , porque o tubo é circular).

V ˙ = V m é d ⋅ A       ⟹       V ˙ = V m é d ⋅ π ⋅ D 2 4

Substituindo essa fórmula na equação de W ˙ , achamos uma nova equação para W ˙ .

W ˙ = V ˙ ⋅ Δ P       ⟹       W ˙ = V m é d ⋅ π ⋅ D 2 4 ⋅ Δ P

Usando os dados que temos:

W ˙ = 1,2 ⋅ π ⋅ 0,002 2 4 ⋅ 188208       ⟹     W ˙ = 0,7095   W

Resposta

a   Δ P = 188208   P a

b   h L = 19,19   m

c   W ˙ = 0,7095   W

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