Enunciado

A água acelerada por um bocal até 15   m / s atinge a superfície traseira vertical de um carrinho que se move horizontalmente a uma velocidade constante de 5   m / s na direção do escoamento. A vazão em massa da água é de 25   k g / s . Após o choque, a corrente de água se espalha em todas as direções no plano da superfície traseira, (a) Determine a força que precisa ser aplicada aos freios do carrinho para evitar que ele acelere, (b) Se essa força fosse usada para gerar potência em vez de ser desperdiçada nos freios, determine a quantidade máxima de potência que poderia ser gerada.

Passo 1

O enunciado quer saber primeiro quanto vale a força de atrito F necessária para manter o carrinho com uma velocidade de 5   m / s . O primeiro passo para achar a fórmula de F é escolher qual é o volume de controle. Como o enunciado quer saber sobre a força F aplicada no carrinho, nós vamos supor que o volume de controle é a região do espaço que engloba a parte do jato colidindo com o carrinho e o carrinho. A figura abaixo mostra o volume de controle.

V é a velocidade do jato de água que atravessa o volume de controle em relação ao chão e V c é a velocidade do carrinho. F → é a força que o atrito exerce sobre o carrinho. O volume de controle se movimenta junto com o carrinho. Por isso, a velocidade do volume de controle é igual à velocidade do carrinho V c .

Passo 2

Agora que escolhemos o volume de controle, podemos usar a segunda lei de Newton nesse volume de controle. Como a velocidade V do jato é constante, o escoamento do volume de controle é considerado como sendo um escoamento em regime permanente.

Como estamos interessados apenas nas forças horizontais (do eixo x ), usaremos apenas a equação de quantidade de movimento (segunda lei de Newton) relativa ao eixo x apenas. Além disso, o volume de controle possui apenas uma corrente de fluido entrando horizontalmente nele. Por causa de todos esses fatores, podemos usar a equação 6 - 27 .

∑ F x = m ˙ ⋅ β 2 ⋅ V 2 , x - β 1 ⋅ V 1 , x

onde ∑ F x é o somatório das forças horizontais (no eixo x ) sobre o volume de controle, m ˙ é a vazão mássica do jato d’água entrando no volume de controle. β 1 é o fator de correção para o escoamento que entra no volume de controle. β 2 é o fator de correção para o escoamento que sai do volume de controle. V 1 , x é a velocidade relativa do jato no eixo x em relação ao volume de controle móvel. V 2 , x é a velocidade relativa da água no eixo x que colidiu com o carrinho.

Esta é a equação de quantidade de movimento no eixo x (segunda lei de Newton) para um escoamento em regime permanente, com uma corrente entrando e outra saindo. No próximo passo descobriremos quanto vale cada termo dessa fórmula.

Passo 3

Pela figura acima, a força F → parece ser a única força sobre o volume de controle no eixo x . Mas você poderia se perguntar se a força da pressão P do jato e a força da pressão atmosférica P a t m também não contam.

Elas existem, mas a pressão de um jato na atmosfera é muito próxima da pressão atmosférica P = P a t m . Logo, a força da pressão do jato se cancela com a força da pressão atmosférica. Por causa disso, ∑ F x vale:

∑ F x = - F

O sinal de menos está presente na fórmula, porque a força F está no sentido negativo de x .

Além disso, os fatores de correção β 1 e β 2 valem 1 para jatos!

β 1 = 1

β 2 = 1

V 1 , x é a componente horizontal da velocidade relativa do jato em relação ao volume de controle. V 1 , x é a velocidade do jato em relação ao chão V menos a velocidade do volume de controle em relação ao chão V c , porque V e V c estão no mesmo sentido.

V 1 , x = V - V c

V 2 , x é a componente horizontal da velocidade relativa da água que sai do volume de controle. Como a água sai do volume de controle apenas com velocidades verticais, V 2 , x vale zero.

V 2 , x = 0

Por fim, a vazão mássica do jato d’água entrando no volume de controle m ˙ vale:

m ˙ = ρ ⋅ V 1 , x ⋅ A

Passo 4

Substituindo todos esses dados na segunda lei, encontramos uma fórmula para a força F .

∑ F x = m ˙ ⋅ β 2 ⋅ V 2 , x - β 1 ⋅ V 1 , x     ⟹   - F = m ˙ ⋅ 1 ⋅ 0 - 1 ⋅ V - V c

F = m ˙ ⋅ V - V c       ⟹       F = 25 ⋅ 15 - 5       ⟹       F = 250   N

Passo 5

Além de querer a força F , o enunciado também quer saber o valor da máxima potência W ˙ m á x que poderia ser gerada através da força usada para manter o carrinho em velocidade constante. A máxima potência W ˙ m á x gerada por essa força é igual a potência que seria gerada caso a força fosse usada para mover o carrinho a uma velocidade constante de 5   m / s .

Ela é igual à força multiplicada pela velocidade do carrinho V c .

W ˙ m á x = F ⋅ V c       ⟹       W ˙ m á x = 250 ⋅ 5       ⟹       W ˙ m á x = 1250   W

Resposta

a   F = 250   N

b   W ˙ m á x = 1250   W

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

O tubo (2)-(3) da figura está ligado ao tanque por meio de uma junta elástica de borracha que impede a transferência de esforços entre o tanque e o tubo. Calcular a altura h do nível de água do tanque
Calcular o esforço horizontal sobre a estrutura do ventilador da figura e a potência transmitida ao fluido pelo ventilador. Desprezar a perda de carga entre as seções (1) e (2). Dados: D 2 = 0,38m ; v
pump in a tank of water at 208C directs a jet at 45 ft/s and200 gal/min against a vane, as shown in Fig. P3.73. Compute the force F to hold the cart stationary if the jet follows(a) path A or (b) path
A vane turns a water jet through an angle α, as shown inFig. P3.87. Neglect friction on the vane walls. (a) What isthe angle α for the support force to be in pure compression?(b) Calculate this compre
An observer at sea level does not hear an aircraft flying at12,000-ft standard altitude until it is 5 (statute) mi past her.Estimate the aircraft speed in ft/s.