Enunciado

Uma camada limite é uma região fina (em geral, ao longo de uma parede longa) na qual as forças viscosas são significativas e dentro da qual o escoamento é rotacional. Considere uma

camada limite   que cresce ao longo de uma placa plana fina (Figura P7-50). O escoamento é em regime permanente. A espessura da camada limite δ em qualquer distância x a jusante é

uma função de x , da velocidade de corrente livre V ∞ e das propriedades do fluido ρ (densidade) e μ (viscosidade). Use o método das variáveis repetidas para gerar uma relação adimensional para δ como função dos outros parâmetros. Mostre todo o seu trabalho.

Passo 1

Vamos lá! A gente vai usar análise dimensional para achar a relação entre a espessura da camada limite δ com os outros parâmetros dados!

O enunciado já deu mastigadinho pra a gente a listagem de todas as variáveis independentes que δ é função, então mesmo que você não seja fera em camada limite não se assuste é só a gente fazer o nosso passo a passo de sempre! Belzinha?

Então vamos começar com o primeiro passo que é listar os parâmetros relevantes!

δ = f ( x ,   V ,   ρ ,   μ )

Temos então 5   parâmetros relevantes!!

n = 5

Passo 2

Agora a gente precisa listar as dimensões primárias de cada parâmetro!

δ = { L 1 }

x = L 1

V = L 1 t - 1

ρ = m 1 L - 3

μ = m - 1 L - 1 t - 1

Passo 3

Quando a gente listou as dimensões primárias de cada parâmetro a gente usou as dimensões m ,   L e t , então podemos considerar:

j = 3

Teorema de Pi de Buckingham:

k = n - j

O n a gente já tinha achado no Passo 1, lá vimos que n = 5 !

Substituindo:

k = 5 - 3 = 2

Nesse caso o número de grupos π esperado é igual a 2. Então vamos atrás deles!!

Passo 4

Já que vamos considerar j = 3 precisamos encontrar nossos três parâmetros repetidos!

Relembrando nossos parâmetros:

δ = f ( x ,   V ,   ρ ,   μ )

De cara a gente já sabe que δ a gente não pode usar, pois ele é um parâmetro dependente!

Agora temos que escolher entre: x ,   V ,   ρ   e μ .

Vamos escolher x ,   V   e   ρ por eles serem parâmetros mais simples!

Passo 5

Agora sim, vamos encontrar o nosso primeiro grupo π !!

Começando com o π 1 que vai ser o π dependente!!

Organizando os nossos parâmetros a gente fica com:

π 1 = 1 = { ( δ ) × x a × ( V ) b × ρ c }

Escrevendo suas dimensões básicas:

π 1 = m 0 L 0 t 0 = { ( L 1 ) × L 1   a × L 1 t - 1 b × m 1 L - 3 c }

Agora equacionando:

Massa:

m 0 = m c

c = 0

Comprimento:

L 0 = L 1 × L a × L b × L - 3 c

0 = 1 + a + b - 3 c

0 = 1 + a + b - 0

Tempo:

t 0 = t - b

0 = - b

b = 0

Logo:

0 = 1 + a + b - 0

a = - 1

Substituindo a , b e c , temos:

π 1 = { ( δ ) × x - 1 × ( V ) 0 × ρ 0 }

Organizando:

π 1 = δ x

Agora vamos achar π 2 , esse vai ser nosso π independente combinando as nossas variáveis repetidas com μ :

π 2 = 1 = { ( μ ) × x d × ( V ) e × ρ f }

Escrevendo suas dimensões básicas:

π 2 = m 0 L 0 t 0 = { ( m 1 L - 1 t - 1 ) × L 1   d × L 1 t - 1 e × m 1 L - 3 f }

Agora equacionando:

Massa:

m 0 = m 1 × m f

0 = 1 + f

f = - 1

Comprimento:

L 0 = L - 1 × L d × L e × L - 3 f

0 = - 1 + d + e - 3 f

0 = - 1 + d + e + 3

Tempo:

t 0 = t - 1 t - e

0 = - 1 - e

e = - 1

Logo:

0 = - 1 + d + e + 3

0 = - 1 + d - 1 + 3

d = - 1

Substituindo temos:

π 2 = { ( μ ) × x - 1 × ( V ) - 1 × ρ - 1 }

Organizando:

π 2 = μ x V ρ

Esse é o número de Reynolds!!!

Passo 6

Agora vamos finalmente escrever a relação entre os grupos π :

δ x = f μ x V ρ

Ou:

δ x = f R e

Uhuuuuuul!

Resposta

δ x = f R e

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