Enunciado

Água entra em um duto retangular liso de 10   m de comprimento com a = 50   m m e b = 25   m m . A temperatura da superfície é mantida constante, e a água entra no tubo a 20 ℃ com vazão de 0,25   k g / s . Determine a temperatura de superfície do tubo necessária para aquecer a água à temperatura de saída desejada de 80 ℃ .

Passo 1

Dados fornecidos:

Vazão mássica: m ˙ = 0 , 25   k g / s

Temperatura média da água na entrada: T i = 20 ℃

Temperatura média da água na saída: T e = 80 ℃

Comprimento do tubo: L = 10   m

Largura do tubo: a = 50   m m = 0,05   m

Altura do tubo: b = 25   m m = 0,025   m

Passo 2

Para resolver a questão, começamos calculando a temperatura média da água com a seguinte relação:

T m é d i a = T e + T i 2

Aqui,  T i é a temperatura média de entrada e  T e é a temperatura média de saída da água. Substituindo os termos pelos dados fornecidos no enunciado, temos:

T m é d i a = 20 ℃ + 80 ℃ 2

T m é d i a = 50 ℃

Com o valor da temperatura média, podemos obter as seguintes propriedades da água em  50 ℃ a 1   a t m na Tab. A-9.

Condutividade térmica: k = 0,644   W / m ⋅ K  

Viscosidade dinâmica: μ = 0,547 × 10 - 3   k g / m ⋅ s

Calor específico: c p = 4181   J / k g ⋅ K  

Densidade da água: 988,1   k g / m 3  

Número e Prandtl: P r = 3,55

Passo 3

Agora, vamos calculando o diâmetro hidráulico do tubo retangular. Assim temos:

D h = 4 A c p

Aqui,  D h é o diâmetro hidráulico,  A c é a área da seção transversal do duto e p  é o perímetro do duto. Substituindo os termos da equação pelos dados fornecidos, temos:

D h = 4 × a × b 2 × a + b

D h = 4 × 0,05   m × 0,025   m 2 × 0,05   m + 0,025   m

D h = 0,0333   m

Também temos que calcular a veleidade média. Podemos fazer isso com a seguinte relação:

V m é d i a = m ˙ ρ A c

V m é d i a = m ˙ ρ a × b

Aqui,  A c é o área da seção transversal, ρ é a densidade da água e  m ˙ é a taxa de fluxo de massa.

Passo 4

Com a velocidade média, podemos calcular o número de Reynolds usando a seguinte relação:

R e = ρ V m é d i a D h μ

Substituindo a velocidade média, temos:

R e = m ˙ ρ D h μ ρ a × b

R e = m ˙ D h μ a × b

Substituindo os termos pelos dados fornecidos no enunciado, temos:

R e = 0 , 25   k g / s × 0,0333   m 0,547 × 10 - 3   k g / m ⋅ s × 0,05   m × 0,025   m

R e = 12175,50

O valor calculado do número de Reynolds é maior que 10000 , portanto, é um fluxo turbulento. Temos que o comprimento da entrada hidrodinâmica e entrada térmica para o fluxo turbulento é:

L h ≈ L t

= 10 D h

= 10 × 0,0333   m

= 0,333   m

Como o comprimento de entrada é menor que o comprimento especificado, o fluxo é um fluxo turbulento totalmente desenvolvido.

Passo 5

Podemos escrever a correlação do número Nusselt para um fluxo turbulento totalmente desenvolvido com superfícies lisas pela equação de Dittus-Boelter. Assim temos:

N u = 0,023 R e 0,8 P r 0,4

Substituindo os termos da relação pelos dados fornecidos e calculados, temos:

N u = 0,023 12175,50 0,8 3,55 0,4

N u = 70,83

Com o número de Nusselt, podemos calcular o coeficiente de transferência de calor por convecção da seguinte maneira:

N u = h D h k

h = N u k D h

Aqui  k é a condutividade térmica. Substituindo os termos pelos dados encontrados anteriormente, temos:

h = 70,83 × 0,644   W / m ⋅ K   0,0333   m

h = 1369,78   W / m 2 ⋅ K  

Passo 6

Podemos calcular a temperatura da superfície tubo usando a seguinte relação:

T s - T e T s - T i = exp ⁡ - h A s m ˙ c p

Aqui  T i é a temperatura do fluxo de entrada,  T s é a temperatura da superfície do tubo,  T e é a temperatura do fluxo de saída,  A s é a área da superfície,  h o coeficiente de transferência de calor e  m ˙ é a vazão mássica da água. Temos que A s = 2 a + b L .

Substituindo os termos pelos dados encontrados anteriormente e fornecidos no enunciado, temos:

T s - 80 T s - 20 = exp ⁡ - 1369,78 × 2 0,05 + 0,025 10 0 , 25 × 4181

T s - 80 T s - 20 = 0,14

T s - 80 = 0,14 T s - 2,8

0,86 T s = 77,2

T s = 89,77 ℃

Portanto, a temperatura da superfície do tubo é  89,77 ℃ .

Resposta

T s = 89,77 ℃

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